Considere a função f(x, y)=x^33-x+y^33-y. Calcule:
O gradiente de f.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem a função f(x, y) = x^33 - x + y^33 - y e precisamos calcular o gradiente dela. O gradiente é uma ferramenta da matemática que nos mostra a direção de maior crescimento da função. Para isso, vamos precisar calcular as derivadas parciais de f em relação a x e a y .

Passo 2

Primeiro, vamos calcular a derivada parcial de f em relação a x . A derivada parcial nos mostra como a função muda quando a gente varia apenas uma das variáveis, mantendo a outra constante. Então, derivando f em relação a x :
partial fpartial x = ddx( x^33 - x + y^33 - y ) = ddx( x^33 - x ) = x^2 - 1

Passo 3

Agora, vamos calcular a derivada parcial de f em relação a y . De novo, mantemos x constante e derivamos em relação a y :
partial fpartial y = ddy( x^33 - x + y^33 - y ) = ddy( y^33 - y ) = y^2 - 1

Passo 4

Com as derivadas parciais calculadas, podemos formar o gradiente da função f . O gradiente é um vetor que reúne todas as derivadas parciais:
nabla f = ( partial fpartial x, partial fpartial y )
Substituindo os valores que encontramos:
nabla f = (x^2 - 1, y^2 - 1)

Resposta

O gradiente de f é nabla f = (x^2 - 1, y^2 - 1) .

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