Resolva a equação não-linear:
\frac{d y}{d x}=\frac{e^{x-y}-1}{e^{x-y}+1} \text {, usando a substituição } u=e^{x-y} \text {. }çã

Passo 1

O enunciado dá a equação
\frac{dy}{dx} = \frac{e^{x-y}-1}{e^{x-y}+1}
e sugere a substituição u = e^{x-y}. O objetivo é transformar a equação em uma forma separável e integrá-la.

Passo 2

Começamos achando \frac{du}{dx}. Como
u = e^{x-y}
têm-se \ln u = x - y. Derivando ambos os lados em relação a x:
\frac{1}{u}\,\frac{du}{dx} = 1 - \frac{dy}{dx}.
Substituindo \frac{dy}{dx}=\frac{u-1}{u+1}:
1 - \frac{dy}{dx} = 1 - \frac{u-1}{u+1} = \frac{(u+1)-(u-1)}{u+1} = \frac{2}{u+1}.
Logo
\frac{du}{dx} = u\cdot\frac{2}{u+1} = \frac{2u}{u+1}.

Passo 3

Escrevemos a equação em forma separável:
\frac{du}{dx} = \frac{2u}{u+1} \quad\Longrightarrow\quad \frac{u+1}{2u}\,du = dx.

Passo 4

Integramos dos dois lados:
\int \frac{u+1}{2u}\,du = \int dx.
Note que
\frac{u+1}{2u} = \frac12\Bigl(1 + \frac1u\Bigr),
então
\frac12\int\Bigl(1 + \frac1u\Bigr)\,du = x + C \;\Longrightarrow\; \frac12\bigl(u + \ln|u|\bigr) = x + C.
Multiplicando por 2 e renomeando constante:
u + \ln|u| = 2x + C'.

Passo 5

Voltando a u = e^{x-y}, temos \ln|u| = x - y, logo
e^{x-y} + (x - y) = 2x + C' \;\Longrightarrow\; e^{x-y} - x - y = C,
onde C é constante arbitrária.

Resposta

A solução implícita geral é
e^{x-y} - x - y = C.

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