Calcule a integral integral triplavarepsilon(x^2+y z) d V, onde
E=(x, y, z) mid 0 <= x <= 2,-3 <= y <= 0,-1 <= z <= 1
usando três ordens diferentes de integraçào.

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral tripla
integral triplaEl(x^2+yzr),dV
sobre o paralelepípedo
E=(x,y,z)mid 0<= x<=2,;-3<= y<=0,;-1<= z<=1
usando três ordens de integração diferentes. Vamos usar o Teorema de Fubini, integrando sucessivamente em cada variável e observando que a região é produto de intervalos.

Passo 2

Ordem dx,dy,dz. Escrevemos
integralz=-1^1integraly=-3^0integralx=0^2(x^2+yz),dx,dy,dz
Primeiro, em x:
integral0^2(x^2+yz),dx =l[tfracx^33+xyzr]0^2 =tfrac83+2,y,z
Depois, em y,z:
integralz=-1^1integraly=-3^0l(tfrac83+2yzr),dy,dz =tfrac83cdot(3)cdot(2)+2l(integral-3^0y,dyr)l(integral-1^1z,dzr) =16+0=16

Passo 3

Ordem dy,dx,dz. Começamos com
integralz=-1^1integralx=0^2integraly=-3^0(x^2+yz),dy,dx,dz
Em y:
integral-3^0(x^2+yz),dy =l[x^2y+tfracy^22zr]-3^0 =3x^2-tfrac92z
Em seguida, x e z:
integralz=-1^1integralx=0^2l(3x^2-tfrac92zr),dx,dz =integral-1^1l[3cdottfracx^33-tfrac92z,xr]0^2dz =integral-1^1(8-9z),dz =16

Passo 4

Ordem dz,dx,dy. Montamos
integraly=-3^0integralx=0^2integralz=-1^1(x^2+yz),dz,dx,dy
Em z:
integral-1^1(x^2+yz),dz =2x^2+underbraceyintegral-1^1z,dz0 =2x^2
Depois, x e y:
integraly=-3^0integralx=0^22x^2,dx,dy = integral-3^0 l[2cdottfracx^33r]0^2,dy = integral-3^0tfrac163,dy =tfrac163cdot3 =16

Resposta

O valor da integral é 16.

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