Calcule a integral:
integral-pi^pi F(x) d x, onde
F(x)= x, & -pi <= x<0 sin x, & 0 <= x <= pi

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral definida de uma função por partes no intervalo [- pi,pi]. O conteúdo principal aqui é a propriedade de aditividade da integral e o cálculo de integrais elementares de x e de sin x.

Passo 2

Pela definição de F e pela aditividade da integral, escrevemos
integral-pi^piF(x),dx = integral-pi^0x,dx ;+;integral0^pisin x,dx

Passo 3

Para integral-pi^0x,dx, a antiderivada de x é
x^22
Logo,
integral-pi^0x,dx =l[tfracx^22r]-pi^0 =0^22-(-pi)^22 =-pi^22

Passo 4

Para integral0^pisin x,dx, a antiderivada de sin x é
-cos x
Logo,
integral0^pisin x,dx =l[-cos xr]0^pi =l(-cospir)-l(-cos0r) =(1)-(-1) =2

Passo 5

Somando os resultados dos dois trechos, obtemos
integral-pi^piF(x),dx =-pi^22+2

Resposta

-pi^22 + 2

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