5^a Questão: Encontre y^prime(0), a derivada das funções implícitas no ponto (0,0), dadas por:
sen y=x^2

Passo 1

O enunciado nos dá a curva implícita
sin y = x^2
e pede para encontrar y' no ponto (0,0). O conteúdo aqui é diferenciação implícita, aplicando regra da cadeia em funções trigonométricas.

Passo 2

Diferenciamos ambos os lados em relação a x. No lado esquerdo, usamos regra da cadeia:
ddxl(sin yr) = cos y cdot y'
No lado direito, a derivada de x^2 é
ddxl(x^2r) = 2x
Logo, obtemos
cos y cdot y' = 2x

Passo 3

Isolamos y' dividindo ambos os lados por cos y (supondo cos yneq0):
y' = 2xcos y

Passo 4

Para calcular y'(0), substituímos x=0 e y=0. Como cos 0 = 1, vem
y'(0) = 2cdot 01 = 0

Resposta

y'(0)=0.

Exercícios relacionados