5^a Questão: Encontre y^prime(0), a derivada das funções implícitas no ponto (0,0), dadas por:
e^y-e^-y=2 x

Passo 1

O enunciado dá a relação implícita
e^y-e^-y=2x
e pede a derivada y'(0) no ponto (0,0). O conteúdo principal aqui é derivação implícita.

Passo 2

Derivamos ambos os lados de
e^y-e^-y=2x
em relação a x. No lado esquerdo, pela regra da cadeia:
dfracddx(e^y)=e^yy' e
dfracddx(-e^-y) = -l(-e^-yy'r)=e^-yy'.
No lado direito,
dfracddx(2x)=2

Passo 3

Juntando os termos, obtemos
e^yy' + e^-yy' = 2
ou seja
y',(e^y+e^-y) = 2 Longrightarrow y' = 2e^y+e^-y

Passo 4

Para y'(0) usamos y(0)=0, logo
e^y+e^-y|y=0=e^0+e^0=1+1=2,
e
y'(0)=22=1

Resposta

1

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