Calcule a integral.
\quad \int t \sin m t d t

Passo 1

O enunciado nos pede para calcular
\int t\sin(m t)\,dt.
O conteúdo principal aqui é integração por partes, cuja fórmula é
\int u\,dv = uv \;-\;\int v\,du.

Passo 2

Escolhemos
u = t, \quad dv = \sin(m t)\,dt.
Então
du = dt, \quad v = \int \sin(m t)\,dt = -\frac{1}{m}\cos(m t).

Passo 3

Aplicando a fórmula de integração por partes:
\int t\sin(m t)\,dt = u\,v - \int v\,du = t\!\left(-\frac{1}{m}\cos(m t)\right) - \int \left(-\frac{1}{m}\cos(m t)\right)\,dt.

Passo 4

Distribuindo o sinal e simplificando, fica
-\frac{t}{m}\cos(m t) + \frac{1}{m}\int \cos(m t)\,dt.
Como
\int \cos(m t)\,dt = \frac{1}{m}\sin(m t),
resulta
\int t\sin(m t)\,dt = -\frac{t}{m}\cos(m t) + \frac{1}{m}\,\frac{1}{m}\sin(m t) + C.

Resposta

-\frac{t}{m}\cos(m t) \;+\;\frac{\sin(m t)}{m^{2}} \;+\; C.

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