Rual a SOMA DA SÉRIE:
1-\frac{1}{\sqrt{2}}+\frac{1}{2}-\frac{1}{2 \sqrt{2}}+\frac{1}{4}-\frac{1}{4 \sqrt{2}}+\frac{1}{8}-\cdots

Passo 1

O enunciado pede a soma da série
1 - \frac{1}{\sqrt{2}} + \frac{1}{2} - \frac{1}{2\sqrt{2}} + \frac{1}{4} - \frac{1}{4\sqrt{2}} + \frac{1}{8} - \cdots
O conteúdo aqui é reconhecimento de uma série geométrica.

Passo 2

Repare que os termos aparecem em pares para cada n\ge0:
\frac{1}{2^n} \quad\text{e}\quad -\frac{1}{2^n\sqrt{2}}.
Portanto podemos escrever
S = \sum_{n=0}^{\infty}\Bigl(\frac{1}{2^n} - \frac{1}{2^n\sqrt{2}}\Bigr).

Passo 3

Fatorando o termo comum em cada parcela, obtemos
S = \sum_{n=0}^{\infty}\Bigl(1 - \frac{1}{\sqrt{2}}\Bigr)\frac{1}{2^n} = \Bigl(1 - \frac{1}{\sqrt{2}}\Bigr)\sum_{n=0}^{\infty}\frac{1}{2^n}.

Passo 4

A soma da série geométrica \sum_{n=0}^{\infty}\frac{1}{2^n} é
\frac{1}{1-\tfrac12} = 2.
Substituindo,
S = 2\Bigl(1 - \frac{1}{\sqrt{2}}\Bigr) = 2 - \frac{2}{\sqrt{2}} = 2 - \sqrt{2}.

Resposta

2 - \sqrt{2}

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