Calcule a integral integral duplaR[(x-2)^2+(y-2)^2] d A, sendo R a região delimitada pela curva (x-2)^2+ (y-2)^2=4.

Passo 1

O enunciado pede
integral duplaRl[(x-2)^2+(y-2)^2r],dA,
onde R é o disco (x-2)^2+(y-2)^2<=4.
O conteúdo principal aqui é usar uma mudança de variáveis para centrar o disco em torno da origem e depois adotar coordenadas polares.

Passo 2

Definimos
u = x - 2, v = y - 2,
de modo que R vira o disco u^2+v^2<=4.
Em termos de (u,v) temos
(x-2)^2+(y-2)^2=u^2+v^2,
e dA = du,dv. A integral fica
integral duplau^2+v^2<=4(u^2+v^2),du,dv

Passo 3

Passamos para coordenadas polares em (u,v):
u = rcostheta, v = rsintheta,
com rin[0,2], thetain[0,2pi]. O jacobiano é r, logo
du,dv = r,dr,dtheta e u^2+v^2=r^2
Assim a integral torna-se
integral0^2pi!integral0^2 r^2,r,dr,dtheta = integral0^2pi!integral0^2 r^3,dr,dtheta

Passo 4

Calculemos a parte radial e a angular separadamente:
integral0^2 r^3,dr = r^44|0^2 = 164 =4,
integral0^2pi dtheta = 2pi
Multiplicando dá
4 times 2pi = 8pi

Resposta

8pi

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