Questão 17. (Inequaçães do segundo grau) Resolva as inequações, escreve sua resposta em forma de intervalos e ilustre o resultado na reta real.
$(x-1)(x-2)>0

Passo 1

O enunciado pede para resolver a inequação (x-1)(x-2)>0. Isso é uma inequação do segundo grau fatorada; a ideia é encontrar as raízes da expressão e, depois, estudar o sinal do produto em cada intervalo determinado por essas raízes.

Passo 2

Primeiro, achamos as raízes de
(x-1)(x-2)=0
Elas são
x=1e x=2
Isso divide a reta real em três intervalos: (-infty,1), (1,2) e (2,infty).

Passo 3

Em cada intervalo, escolhemos um valor-teste para avaliar o sinal de (x-1)(x-2):
Para x<1, por exemplo x=0:
(x-1)(x-2)|x=0=(0-1),(0-2)=(-1),(-2)=2>0
Para 1<x<2, por exemplo x=1,5:
(x-1)(x-2)|x=1,5=(1,5-1),(1,5-2)=(0,5),(-0,5)=-0,25<0
Para x>2, por exemplo x=3:
(x-1)(x-2)|x=3=(3-1),(3-2)=2cdot1=2>0

Passo 4

Queremos os lugares onde (x-1)(x-2)>0, ou seja, onde o produto é positivo. Pelos testes, isso ocorre em
(-infty,1)e(2,infty)

Passo 5

Ilustração na reta real (pontos abertos em e , seta para os dois lados):
<----\circ\(=================\)\circ---->
\[12\]

Resposta

Ilustração na reta real:
<----\circ\(=================\)\circ---->
\[12\]

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