Se
encontre a área da superfície gerada pela rotação da curva
em torno do eixo
.
Passo 1
A curva dada é implícita por 3 a x² = y (a–y)², e queremos a área de superfície gerada ao girar essa curva em torno do eixo x. O conteúdo é área de superfície de revolução e vamos precisar da fórmula
S = 2π ∫ y ds,
onde ds = √(1 + (dx/dy)²) dy se parametrizarmos por y.
Passo 2
Da equação 3 a x² = y (a–y)², isolamos x em função de y. Temos
x² = \frac{y (a–y)²}{3a}
logo
x(y) = \frac{a–y}{\sqrt{3a}} \sqrt{y},
com y variando de 0 até a.
Passo 3
Para montar ds, calculamos dx/dy. Escrevendo u(y) = (a–y)√y, temos
u’(y) = \frac12 y^{-1/2}(a–3y).
Como x = u/√(3a),
(dx/dy) = \frac{1}{\sqrt{3a}} \cdot \frac12 y^{-1/2}(a–3y)
e
(dx/dy)² = \frac{(a–3y)²}{12a y}.
Passo 4
Então
1 + (dx/dy)² = \frac{12a y + (a–3y)²}{12a y} = \frac{(a +3y)²}{12a y}
e
√(1 + (dx/dy)²) = \frac{a +3y}{\sqrt{12a y}}.
Logo o integrando fica
y·√(1+(dx/dy)²) = \frac{a y +3y²}{\sqrt{12a y}} = \frac{1}{\sqrt{12a}}(a y^{1/2} +3y^{3/2}).
Passo 5
Substituindo em
S = 2π ∫_{0}^{a} y√(1+(dx/dy)²) dy
temos
S = \frac{2π}{\sqrt{12a}} ∫_{0}^{a} (a y^{1/2} +3y^{3/2}) dy.
Calculando as integrais:
∫₀ᵃ a y^{1/2} dy = \tfrac{2}{3}a·a^{3/2} = \tfrac{2}{3}a^{5/2},
∫₀ᵃ 3y^{3/2} dy = \tfrac{6}{5}a^{5/2}.
Somando dá \tfrac{28}{15}a^{5/2}.
Passo 6
Substituindo de volta e simplificando:
S = \frac{2π}{\sqrt{12a}}·\frac{28}{15}a^{5/2} = \frac{56π a^{5/2}}{15√{12a}} = \frac{56π a^2}{15√{12}} = \frac{56π a^2}{15·2√3} = \frac{28π a^2}{15√3}.
Passo 7
Essa é a área da superfície de revolução da curva para a > 0.
Resposta
S = \frac{28π a^2}{15√3}