Calcule a integral
integralegral duplaD e^-x^2-y^2 d A
em que D é a região do plano limitada pelo semicírculo x=raiz4-y^2 e o eixo y. Resp.: pi(1-e^-4)2.

Passo 1

O enunciado pede
integral duplaD e^-x^2-y^2,dA
onde D é a região limitada pelo semicírculo x=raiz4-y^2 e o eixo y. Isso significa que D é o semi-disco de raio 2 à direita do eixo y. Como a função e^-x^2-y^2 é radial (depende só de r^2), faz sentido usar coordenadas polares:
x = rcostheta, y = rsintheta, dA = r,dr,dtheta

Passo 2

Precisamos determinar os limites em polares. Como D é o semi-disco de raio 2 com x>=0, temos
0<= r<= 2, -tfracpi2<= theta<= tfracpi2
Logo a integral vira
integral duplaD e^-x^2-y^2,dA =integraltheta=-pi2^pi2 integralr=0^2 e^-r^2;r,dr,dtheta

Passo 3

Separamos a integral em parte angular e parte radial. Primeiro a angular:
integral-pi2^pi2dtheta =pi

Passo 4

Agora a radial:
integral0^2e^-r^2,r,dr
Fazendo a substituição u=r^2, du=2r,dr, obtemos
integral0^2e^-r^2,r,dr =12integralu=0^4e^-u,du =12l[-e^-ur]0^4 =1-e^-42

Passo 5

Multiplicando parte angular e parte radial, resulta
integral duplaDe^-x^2-y^2,dA =picdot1-e^-42 =pil(1-e^-4r)2

Resposta

pil(1-e^-4r)2

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