Calcule a integral
em que
é a região do plano limitada pelo semicírculo
e o eixo
. Resp.:
.
Passo 1
O enunciado pede
onde
é a região limitada pelo semicírculo
e o eixo
. Isso significa que
é o semi-disco de raio
à direita do eixo
. Como a função
é radial (depende só de
), faz sentido usar coordenadas polares:
Passo 2
Precisamos determinar os limites em polares. Como
é o semi-disco de raio
com
, temos
Logo a integral vira
Passo 3
Separamos a integral em parte angular e parte radial. Primeiro a angular:
Passo 4
Agora a radial:
Fazendo a substituição
,
, obtemos
Passo 5
Multiplicando parte angular e parte radial, resulta