Verifique se as seguintes sequências de números reais convergem ou divergem.
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma sequência de números reais definida por:
an = 4 n^4 + 7 - 6 n cdot |6 - 7 n^3|6 n^2 cdot (7 - 6 n)
O conteúdo principal aqui é sobre convergência e divergência de sequências. Vamos precisar analisar o comportamento dessa sequência quando n se aproxima do infinito para determinar se ela converge (tem um limite finito) ou diverge (não tem limite ou tende ao infinito).
Passo 2
Vamos começar simplificando a expressão para facilitar a análise. Primeiro, observamos que temos um valor absoluto na expressão: |6 - 7n^3| .
Quando n cresce, 7n^3 se torna muito maior que 6, então:
|6 - 7n^3| = 7n^3 - 6
porque 7n^3 é positivo e maior que 6.
Passo 3
Substituindo isso na expressão original, temos:
an = 4 n^4 + 7 - 6n (7n^3 - 6)6n^2 (7 - 6n)
Vamos simplificar o numerador e o denominador separadamente.