Verifique se as seguintes sequências de números reais convergem ou divergem.
an=4 n^4+7-6 n cdot|6-7 n^3|6 n^2 cdot(7-6 n)

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma sequência de números reais definida por:
an = 4 n^4 + 7 - 6 n cdot |6 - 7 n^3|6 n^2 cdot (7 - 6 n)
O conteúdo principal aqui é sobre convergência e divergência de sequências. Vamos precisar analisar o comportamento dessa sequência quando n se aproxima do infinito para determinar se ela converge (tem um limite finito) ou diverge (não tem limite ou tende ao infinito).

Passo 2

Vamos começar simplificando a expressão para facilitar a análise. Primeiro, observamos que temos um valor absoluto na expressão: |6 - 7n^3| .
Quando n cresce, 7n^3 se torna muito maior que 6, então:
|6 - 7n^3| = 7n^3 - 6
porque 7n^3 é positivo e maior que 6.

Passo 3

Substituindo isso na expressão original, temos:
an = 4 n^4 + 7 - 6n (7n^3 - 6)6n^2 (7 - 6n)
Vamos simplificar o numerador e o denominador separadamente.

Passo 4

Vamos simplificar o numerador:
4n^4 + 7 - 6n (7n^3 - 6) = 4n^4 + 7 - 42n^4 + 36n = -38n^4 + 36n + 7

Passo 5

Agora, o denominador:
6n^2 (7 - 6n) = 42n^2 - 36n^3

Passo 6

Então, nossa sequência fica:
an = -38n^4 + 36n + 742n^2 - 36n^3
Para analisar o comportamento quando n tende ao infinito, vamos focar nos termos de maior grau no numerador e no denominador.

Passo 7

No numerador, o termo de maior grau é -38n^4 e no denominador é -36n^3 .
Podemos simplificar dividindo cada termo pelo maior grau do denominador, que é n^3 :
an = -38n^4/n^3 + 36n/n^3 + 7/n^342n^2/n^3 - 36n^3/n^3 = -38n + 36n^2 + 7n^342n - 36

Passo 8

Agora, analisamos o comportamento quando n tende ao infinito:
  • -38n tende a -infty
  • 36n^2 e 7n^3 tendem a 0
  • 42n tende a 0
Então, a expressão simplifica para:
an approx -38n-36 = 3836n = 1918n

Passo 9

Portanto, an cresce linearmente com n , ou seja, tende ao infinito quando n tende ao infinito.

Resposta

A sequência an diverge, pois tende ao infinito quando n se aproxima de infinito.

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