Verifique se as seguintes sequências de números reais convergem ou divergem.
an=(1+43 n)^5 n

Passo 1

Vamos verificar se a sequência an = (1 + 43n)^5n converge ou diverge. Para isso, vamos usar conceitos de limites de sequências que envolvem potências e a constante matemática e .

Passo 2

Primeiro, vamos analisar a expressão dentro da potência: 1 + 43n . Conforme n aumenta, 43n fica cada vez menor, se aproximando de zero.

Passo 3

Sabemos que existe uma fórmula importante que diz:
limn to infty (1 + kn)^n = e^k
Essa fórmula nos ajuda a encontrar o limite de sequências nessa forma.

Passo 4

Vamos tentar adaptar a nossa sequência para usar essa fórmula. Observamos que:
an = (1 + 43n)^5n
Podemos reescrever isso da seguinte maneira:
an = [(1 + 43n)^3n]^53
Aqui, separamos a potência 5n em 3n e 53 para facilitar.

Passo 5

Agora, aplicamos a fórmula do limite que conhecemos:
limn to infty (1 + 43n)^3n = e^4
Isso porque k = 4 na nossa fórmula geral.

Passo 6

Substituímos esse resultado de volta na expressão original:
limn to infty an = (e^4)^53 = e^203
Simplificamos a potência multiplicando os expoentes.

Resposta

A sequência converge e seu limite é e^203 .

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