Verifique se as seguintes sequências de números reais convergem ou divergem.
Passo 1
Vamos verificar se a sequência
converge ou diverge. Para isso, vamos usar conceitos de limites de sequências que envolvem potências e a constante matemática
.
Passo 2
Primeiro, vamos analisar a expressão dentro da potência:
. Conforme
aumenta,
fica cada vez menor, se aproximando de zero.
Passo 3
Sabemos que existe uma fórmula importante que diz:
Essa fórmula nos ajuda a encontrar o limite de sequências nessa forma.
Passo 4
Vamos tentar adaptar a nossa sequência para usar essa fórmula. Observamos que:
Podemos reescrever isso da seguinte maneira:
Aqui, separamos a potência
em
e
para facilitar.
Passo 5
Agora, aplicamos a fórmula do limite que conhecemos:
Isso porque
na nossa fórmula geral.
Passo 6
Substituímos esse resultado de volta na expressão original:
Simplificamos a potência multiplicando os expoentes.
Resposta
A sequência converge e seu limite é
.