Verifique se as seguintes sequências de números reais convergem ou divergem.
an=(1+77 n)^6 n

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente verificar se a sequência an = (1 + 77n)^6n converge ou diverge. A matéria envolvida aqui é sequência de números reais e limites. Para resolver isso, vamos precisar usar o conceito de limite de uma sequência e a fórmula que envolve o número e .

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a expressão da sequência. Observa que 77n simplifica para 1n . Então, a sequência fica:
an = (1 + 1n)^6n

Passo 3

Agora, lembramos que existe uma limitação importante que diz que:
limn to infty (1 + 1n)^n = e
onde e é aproximadamente 2,71828. Esse limite é fundamental para entender o comportamento da nossa sequência.

Passo 4

Na nossa sequência, temos (1 + 1n)^6n . Podemos reescrever isso como:
[(1 + 1n)^n]^6
Isso nos ajuda a relacionar com o limite conhecido que envolve e .

Passo 5

Sabemos que limn to infty (1 + 1n)^n = e . Então, ao elevar esse limite à sexta potência, temos:
limn to infty [(1 + 1n)^n]^6 = e^6

Passo 6

Portanto, o limite da nossa sequência an é e^6 , que é um número finito. Isso significa que a sequência converge.

Resposta

A sequência an = (1 + 1n)^6n converge e o seu limite é e^6 .

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