Verifique se as seguintes sequências de números reais convergem ou divergem.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente verificar se a sequência
converge ou diverge. A matéria envolvida aqui é sequência de números reais e limites. Para resolver isso, vamos precisar usar o conceito de limite de uma sequência e a fórmula que envolve o número
.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar a expressão da sequência. Observa que
simplifica para
. Então, a sequência fica:
Passo 3
Agora, lembramos que existe uma limitação importante que diz que:
onde
é aproximadamente 2,71828. Esse limite é fundamental para entender o comportamento da nossa sequência.
Passo 4
Na nossa sequência, temos
. Podemos reescrever isso como:
Isso nos ajuda a relacionar com o limite conhecido que envolve
.
Passo 5
Sabemos que
. Então, ao elevar esse limite à sexta potência, temos:
Passo 6
Portanto, o limite da nossa sequência
é
, que é um número finito. Isso significa que a sequência converge.
Resposta
A sequência
converge e o seu limite é
.