Calcule a integral
integral0^pi2 integral0^pi2 integral0^(cos theta+sin theta)sin varphi+cos varphi rho^2 sin (varphi) d rho d varphi d theta
Resp.: 16.

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral em coordenadas esféricas
I = integral0^pi2!integral0^pi2!integral0^costheta+sinthetasinvarphi+cosvarphi rho^2,sinvarphi,drho,dvarphi,dtheta
Aqui o conteúdo é integração iterada e uso de variáveis separáveis. Vamos precisar:
  1. integrar em rho usando integral0^Hrho^2drho=H^3/3,
  2. ver que sobra um produto de uma integral só em theta e outra só em varphi,
  3. calcular cada uma delas de forma direta ou com substituições adequadas.

Passo 2

Integramos primeiro em rho. Se
H(theta,varphi)=costheta+sinthetasinvarphi+cosvarphi,
então
integral0^Hrho^2drho=H^33
e assim
I =integral0^pi2!integral0^pi2 H(theta,varphi)^33,sinvarphi,dvarphi,dtheta =13integral0^pi2!integral0^pi2 (costheta+sintheta)^3(sinvarphi+cosvarphi)^3,sinvarphi ,dvarphi,dtheta

Passo 3

Note que o integrando separa em função de theta vezes função de varphi. Logo
I =13gl(integral0^pi2(costheta+sintheta)^3dthetagr) l(integral0^pi2sinvarphi(sinvarphi+cosvarphi)^3,dvarphir)
Definimos
A=integral0^pi2(costheta+sintheta)^3dtheta, B=integral0^pi2sinvarphi(sinvarphi+cosvarphi)^3,dvarphi,
então I=tfrac13A,B.

Passo 4

Cálculo de A. Use a substituição theta=,x+pi/4, então
costheta+sintheta=raiz2cos x e dtheta=dx, com xin[-pi/4,pi/4].
A =2raiz2integral-pi4^pi4(cos x)^3dx =4raiz2integral0^pi4cos^3x,dx =4raiz2l[sin x-tfracsin^3x3r]0^pi4 = 103

Passo 5

Cálculo de B. Use a substituição t=tanvarphi, de modo que
sinvarphi=tfractraiz1+t^2, cosvarphi=tfrac1raiz1+t^2,
e dvarphi=dt/(1+t^2). O integrando torna-se
t/(1+t^2)^1/2l((1+t)/(1+t^2)^1/2r)^3cdotdt1+t^2 =t(1+t)^3,dt, tin[0,infty)
Logo
B=integral0^inftyt(1+t)^3,dt =l[-1u+12u^2r]u=1^infty =12

Passo 6

Agora basta juntar:
I=13,A,B =13cdot103cdot12 =1018 =59

Resposta

I=59

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