Calcule a integral
Resp.:
.
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral em coordenadas esféricas
Aqui o conteúdo é integração iterada e uso de variáveis separáveis. Vamos precisar:
- integrar em
usando , - ver que sobra um produto de uma integral só em
e outra só em , - calcular cada uma delas de forma direta ou com substituições adequadas.
Passo 2
Integramos primeiro em
. Se
então
e assim
Passo 3
Note que o integrando separa em função de
vezes função de
. Logo
Definimos
então
.
Passo 4
Cálculo de
. Use a substituição
, então
e
, com
.
Passo 5
Cálculo de
. Use a substituição
, de modo que
,
,
e . O integrando torna-se
e
Logo
Passo 6
Agora basta juntar: