Encontre a solução
da equação de Laplace no disco de raio 3 centrado na origem que na fronteira do disco satisfaz a condição de contorno
onde
é a função dada na primeira questão (mudando o nome da variável independente).
Determine o valor da solução no centro do disco.
Determine o valor da solução no centro do disco.
Passo 1
O enunciado pede a solução da equação de Laplace em coordenadas polares no disco de raio
centrado na origem, com condição de contorno
onde
é uma função
-periódica (vinda da primeira questão). Para resolver, vamos usar expansão em série de Fourier e o fato de que toda solução harmônica regular no interior do disco admite representação em potências de
vezes senos e cossenos de
.
Passo 2
Escrevemos a expansão de Fourier de
no contorno:
onde
Passo 3
A solução harmônica regular no interior que coincide em
com essa série é
Passo 4
Para encontrar o valor no centro do disco basta tomar
. Todas as parcelas com
vão a zero, restando
Passo 5
Em termos de
, isso é
ou seja, o valor no centro é a média de
ao longo do círculo de raio 3.