Encontre a solução u=u(r, theta) da equação de Laplace no disco de raio 3 centrado na origem que na fronteira do disco satisfaz a condição de contorno
u(3, theta)=f(theta)
onde f é a função dada na primeira questão (mudando o nome da variável independente).
Determine o valor da solução no centro do disco.

Passo 1

O enunciado pede a solução da equação de Laplace em coordenadas polares no disco de raio 3 centrado na origem, com condição de contorno
u(3,theta)=f(theta),
onde f é uma função 2pi-periódica (vinda da primeira questão). Para resolver, vamos usar expansão em série de Fourier e o fato de que toda solução harmônica regular no interior do disco admite representação em potências de r vezes senos e cossenos de ntheta.

Passo 2

Escrevemos a expansão de Fourier de f no contorno:
f(theta) =a02+sumn=1^inftyl(ancos(ntheta)+bnsin(ntheta)r),
onde
a0=1piintegral0^2pif(theta),dtheta, an=1piintegral0^2pif(theta)cos(ntheta),dtheta, bn=1piintegral0^2pif(theta)sin(ntheta),dtheta

Passo 3

A solução harmônica regular no interior que coincide em r=3 com essa série é
u(r,theta) =a02 +sumn=1^inftyl(r3r)^nl(ancos(ntheta)+bnsin(ntheta)r)

Passo 4

Para encontrar o valor no centro do disco basta tomar r=0. Todas as parcelas com n>=1 vão a zero, restando
u(0,theta)=a02

Passo 5

Em termos de f, isso é
u(0) =12,a0 =12cdot1piintegral0^2pif(theta),dtheta =12piintegral0^2pif(theta),dtheta,
ou seja, o valor no centro é a média de f ao longo do círculo de raio 3.

Resposta

u(0)=12piintegral0^2pif(theta),dtheta

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