Use a definição e encontre a transformada de Laplace das seguintes funções, caso exista:
f(t)=e^5 t.

Passo 1

O enunciado pede a transformada de Laplace da função f(t)=e^5t usando a definição. O conteúdo aqui é a definição de transformada de Laplace, que é um integral impróprio. Precisamos lembrar que
Lf(t)(s)=integral0^inftyf(t),e^-s t,dt

Passo 2

Aplicando a definição em f(t)=e^5t, temos
Le^5t(s) =integral0^inftye^5t,e^-s t,dt =integral0^inftye^-(s-5),t,dt

Passo 3

Para que o integral converja, precisamos de Re(s-5)>0, ou seja Re(s)>5. Calculando a integral:
integral0^inftye^-(s-5),t,dt =limAtoinftyintegral0^Ae^-(s-5),t,dt =limAtoinftygl[-1s-5,e^-(s-5),tgr]0^A =1s-5l(1-0r) =1s-5

Resposta

Le^5t(s)=1s-5, Re(s)>5

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