Resolver as equações diferenciais do
tipo:
Passo 1
O enunciado pede para resolver a equação diferencial
que é do tipo “razão de funções lineares” (terceiro tipo). Para resolvê-la, vamos primeiro fazer uma mudança de variáveis do tipo
de modo a eliminar as constantes nos numerador e denominador, transformando-a numa equação homogênea em
e
.
Passo 2
Escolhemos
e
de forma que nas expressões
os termos constantes sumam a zero ao substituir
,
. Ou seja, devemos resolver
Esse sistema dá
e
. Logo, definimos
Como
, a equação fica
isto é, agora é uma equação homogênea de grau zero em
.
Passo 3
Para resolver a homogênea, fazemos a substituição
, o que implica
Substituindo na equação obtém-se
Passo 4
Reescrevendo para isolar
:
Portanto
que é separável.
Passo 5
Separamos variáveis e integramos:
Fazendo frações parciais em
obtemos
,
, logo
Isso leva a
ou ainda
Passo 6
Voltando às variáveis originais:
e
, temos
Substituindo
,
resulta na solução implícita
Resposta
onde
é constante arbitrária.