Resolver as equações diferenciais do 3^circ tipo:
d yd x=x+2 y-42 x+y-5

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação diferencial
dydx = x + 2y - 42x + y - 5
que é do tipo “razão de funções lineares” (terceiro tipo). Para resolvê-la, vamos primeiro fazer uma mudança de variáveis do tipo
X = x - h, Y = y - k
de modo a eliminar as constantes nos numerador e denominador, transformando-a numa equação homogênea em X e Y.

Passo 2

Escolhemos h e k de forma que nas expressões
x + 2y - 4 e 2x + y - 5
os termos constantes sumam a zero ao substituir x = X + h, y = Y + k. Ou seja, devemos resolver
h + 2k - 4 = 0, 2h + k - 5 = 0
Esse sistema dá h = 2 e k = 1. Logo, definimos
X = x - 2, Y = y - 1
Como dY/dX = dy/dx, a equação fica
dYdX = (X+2)+(2Y)2(X+2)+(Y) = X+2Y2X+Y,
isto é, agora é uma equação homogênea de grau zero em X,Y.

Passo 3

Para resolver a homogênea, fazemos a substituição Y = vX, o que implica
dYdX = v + XdvdX
Substituindo na equação obtém-se
v + XdvdX = X + 2(vX)2X + vX = 1 + 2v2 + v

Passo 4

Reescrevendo para isolar dv/dX:
XdvdX = 1 + 2v2 + v - v = 1 + 2v - v(2+v)2+v = 1 - v^22+v
Portanto
dvdX = 1 - v^2X,(2+v),
que é separável.

Passo 5

Separamos variáveis e integramos:
integral 2+v1 - v^2,dv = integral dXX
Fazendo frações parciais em 2+v1-v^2 = A1-v + B1+v obtemos A=3/2, B=1/2, logo
integral!l(3/21-v + 1/21+vr)dv = ln|X| + C
Isso leva a
-3ln|1-v| + ln|1+v| = 2ln|X| + C',
ou ainda
ln!1+v(1-v)^3 - 2ln|X| = C' Longrightarrow 1+v(1-v)^3,X^2 = C

Passo 6

Voltando às variáveis originais: v = Y/X e (X,Y)=(x-2,,y-1), temos
1 + YXl(1 - YXr)^3,X^2 = X+Y(X-Y)^3 = C
Substituindo X = x-2, Y = y-1 resulta na solução implícita
(x-2)+(y-1)l((x-2)-(y-1)r)^3 = C Long<=ftrightarrow x+y-3l(x-y-1r)^3 = C

Resposta

boxedx+y-3l(x-y-1r)^3 = C,
onde C é constante arbitrária.

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