Resolver as equações diferenciais do 3^circ tipo:
(2 x-3 y) d x-(3 x-y-1) d y=0 Resp.: 2 x^2-6 x y+y^2+2 y+F=0

Passo 1

O enunciado fornece a equação diferencial
(2x-3y),dx ;-;(3x - y -1),dy ;=;0
Definimos
M(x,y)=2x-3y, N(x,y)=-(3x - y -1)= -3x + y +1
Para verificar se é exata, checamos se
partial M/partial y = partial N/partial x.

Passo 2

Calculamos as derivadas parciais:
partial Mpartial y = -3, partial Npartial x = -3
Como são iguais, a equação é exata. Logo existe uma função potencial psi(x,y) tal que
partial psipartial x=M, partial psipartial y=N

Passo 3

Integramos M em relação a x, introduzindo uma função g(y):
psi(x,y) =integral(2x-3y),dx = x^2 - 3xy + g(y)

Passo 4

Derivamos psi em relação a y e igualamos a N:
partial psipartial y =-3x + g'(y) ;overset!=; -3x + y + 1 Longrightarrow g'(y)=y+1
Integrando,
g(y)=integral(y+1),dy=y^22+y + C

Passo 5

A função potencial completa é
psi(x,y) = x^2 -3xy + y^22 + y
A solução geral implícita é psi(x,y)=constante. Chamando essa constante de C e multiplicando por 2, obtemos
2x^2 -6xy + y^2 +2y = F Longrightarrow 2x^2 -6xy + y^2 +2y + F = 0

Resposta

2x^2 -6xy + y^2 +2y + F = 0

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