Calcule a integral das seguintes curvas em R^2, no intervalo [0, pi].
F(t)=(sen t cos t, cos 2 t)

Passo 1

O enunciado nos dá a curva paramétrica
F(t) = l(sin t ,cos t,;cos 2tr)
em R^2, para tin[0,pi], e pede para calcular
integral0^pi F(t),dt
Lembre que a integral de uma função vetorial se faz componente a componente.

Passo 2

Separamos as componentes
F(t) = l(f1(t),,f2(t)r) com f1(t)=sin tcos t, f2(t)=cos2t
Para integrar f1, usamos a identidade trigonométrica
sin tcos t = tfrac12sin2t

Passo 3

Calculemos a integral da primeira componente:
integral0^pi sin tcos t ,dt = tfrac12 integral0^pi sin2t ,dt = tfrac12 l[-tfrac12cos2tr]0^pi = -tfrac14l(cos2pi - cos0r)
Como cos2pi=1 e cos0=1, vem
integral0^pi sin tcos t ,dt = -tfrac14(1-1) = 0

Passo 4

Agora a segunda componente:
integral0^pi cos2t ,dt = l[tfrac12sin2tr]0^pi = tfrac12l(sin2pi - sin0r) = tfrac12(0-0)=0

Passo 5

Juntando os resultados componentes, obtemos
integral0^pi F(t),dt = l(0,,0r)

Resposta

(0,0)

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