8- Calcule a integral dos seguintes dados tabulados com (a) a regra do trapézio e (b) regras de Simpson.
x
0
0,1
0,2
0,3
0,4
0,5
1
8
4
3,5
5
1
| x | 0 | 0,1 | 0,2 | 0,3 | 0,4 | 0,5 |
|
|
1 | 8 | 4 | 3,5 | 5 | 1 |
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral aproximada, no intervalo de
até
, dos valores tabulados abaixo usando (a) a regra do trapézio e (b) regras de Simpson.
Os dados fornecidos (peguei-os da tabela do enunciado) são:
Informações relevantes que vamos usar:
- Os nós são igualmente espaçados; o passo é
(diferença entre nós). - Existem
pontos, logo subintervalos entre e . - Precisamos aplicar a fórmula composta do trapézio e regras de Simpson adequadas ao número de subintervalos.
Passo 2
Explicando e aplicando a regra composta do trapézio (aula rápida e passo a passo).
Fórmula geral da regra composta do trapézio para
subintervalos de amplitude
:
onde:
-
e são os extremos do intervalo, -
é a largura de cada subintervalo, -
são os valores da função nos nós.
Aqui
,
,
,
,
,
,
,
.
Calcule a soma dos termos intermediários:
Agora aplique a fórmula:
Calcule numericamente:
Portanto, pelo trapézio obtemos
.
Passo 3
Explicando as regras de Simpson e escolha do método (aula e justificativa).
Existem duas regras usuais de Simpson:
- Regra de Simpson 1/3 (para um número par de subintervalos): para
subintervalos com passo ,
- Regra de Simpson 3/8 (usa exatamente 3 subintervalos): para três subintervalos de largura
,
No nosso caso temos
subintervalos (um número ímpar), portanto não podemos aplicar a regra 1/3 diretamente sobre todo o intervalo. Uma estratégia comum e eficiente é combinar regras: usar Simpson 1/3 onde podemos (sobre um número par de subintervalos) e usar Simpson 3/8 para cobrir 3 subintervalos restantes. Vou usar a divisão:
- aplicar Simpson 1/3 em
a (dois subintervalos: a ), - aplicar Simpson 3/8 em
a (três subintervalos: a ).
Essa combinação cobre todos os 5 subintervalos sem sobreposição e é um procedimento padrão quando
não é par.
Passo 4
Aplicando Simpson 1/3 em
até
(dois subintervalos,
).
Fórmula para dois subintervalos (caso especial da 1/3):
Substituindo
,
,
e
:
Calcule:
Passo 5
Aplicando Simpson 3/8 em
até
(três subintervalos,
).
Fórmula da 3/8:
Valores:
,
,
,
. Somando dentro:
Agora aplicar a fórmula com
:
Calcule:
Passo 6
Somando as duas partes de Simpson para obter a aproximação total:
Em fração exata (somando
e
) obtém-se
Portanto, pela combinação das regras de Simpson obtemos aproximadamente
.
Força aí — você já tem a integral por trapézio e por Simpson, e agora dá para comparar a diferença: Simpson normalmente é mais preciso quando a função é bem aproximada por polinômios locais.
Resposta
(a)
(b)
(b)