8- Calcule a integral dos seguintes dados tabulados com (a) a regra do trapézio e (b) regras de Simpson.
x 0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5
\mathrm{f}(\mathrm{x}) 1 8 4 3,5 5 1

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral aproximada, no intervalo de x=0 até x=0,5, dos valores tabulados abaixo usando (a) a regra do trapézio e (b) regras de Simpson.
Os dados fornecidos (peguei-os da tabela do enunciado) são:
\begin{array}{c|cccccc} x & 0 & 0,1 & 0,2 & 0,3 & 0,4 & 0,5\\hline f(x) & 1 & 8 & 4 & 3,5 & 5 & 1 \end{array}
Informações relevantes que vamos usar:
  • Os nós são igualmente espaçados; o passo é \;h=0,1\; (diferença entre nós).
  • Existem 6 pontos, logo n=5 subintervalos entre x=0 e x=0,5.
  • Precisamos aplicar a fórmula composta do trapézio e regras de Simpson adequadas ao número de subintervalos.

Passo 2

Explicando e aplicando a regra composta do trapézio (aula rápida e passo a passo).
Fórmula geral da regra composta do trapézio para n subintervalos de amplitude h:
\int_{a}^{b} f(x)\,dx \approx \frac{h}{2}\Big(f_0 + 2\sum_{i=1}^{n-1} f_i + f_n\Big),
onde:
  • a=x_0 e b=x_n são os extremos do intervalo,
  • h=(b-a)/n é a largura de cada subintervalo,
  • f_i=f(x_i) são os valores da função nos nós.
Aqui h=0,1, n=5, f_0=1, f_1=8, f_2=4, f_3=3,5, f_4=5, f_5=1.
Calcule a soma dos termos intermediários:
\sum_{i=1}^{4} f_i = f_1+f_2+f_3+f_4 = 8 + 4 + 3,5 + 5 = 20,5.
Agora aplique a fórmula:
\int_{0}^{0,5} f(x)\,dx \approx \frac{0,1}{2}\Big( f_0 + 2\cdot 20,5 + f_5 \Big) = \frac{0,1}{2}\Big(1 + 41 + 1\Big) = \frac{0,1}{2}\cdot 43.
Calcule numericamente:
\frac{0,1}{2}\cdot 43 = 0,05\cdot 43 = 2,15.
Portanto, pelo trapézio obtemos 2,15.

Passo 3

Explicando as regras de Simpson e escolha do método (aula e justificativa).
Existem duas regras usuais de Simpson:
  • Regra de Simpson 1/3 (para um número par de subintervalos): para 2m subintervalos com passo h,
\int_{a}^{b} f(x)\,dx \approx \frac{h}{3}\Big(f_0 + 4\sum_{\text{ímpares}} f_i + 2\sum_{\text{pares, exceto }0,n} f_i + f_n\Big).í
  • Regra de Simpson 3/8 (usa exatamente 3 subintervalos): para três subintervalos de largura h,
\int_{x_0}^{x_3} f(x)\,dx \approx \frac{3h}{8}\big(f_0 + 3f_1 + 3f_2 + f_3\big).
No nosso caso temos n=5 subintervalos (um número ímpar), portanto não podemos aplicar a regra 1/3 diretamente sobre todo o intervalo. Uma estratégia comum e eficiente é combinar regras: usar Simpson 1/3 onde podemos (sobre um número par de subintervalos) e usar Simpson 3/8 para cobrir 3 subintervalos restantes. Vou usar a divisão:
  • aplicar Simpson 1/3 em x_0 a x_2 (dois subintervalos: 0 a 0,2),
  • aplicar Simpson 3/8 em x_2 a x_5 (três subintervalos: 0,2 a 0,5).
Essa combinação cobre todos os 5 subintervalos sem sobreposição e é um procedimento padrão quando n não é par.

Passo 4

Aplicando Simpson 1/3 em x_0=0 até x_2=0,2 (dois subintervalos, h=0,1).
Fórmula para dois subintervalos (caso especial da 1/3):
\int_{x_0}^{x_2} f(x)\,dx \approx \frac{h}{3}\big(f_0 + 4f_1 + f_2\big).
Substituindo f_0=1, f_1=8, f_2=4 e h=0,1:
\int_{0}^{0,2} f(x)\,dx \approx \frac{0,1}{3}\big(1 + 4\cdot 8 + 4\big) = \frac{0,1}{3}\cdot 37.
Calcule:
\frac{0,1}{3}\cdot 37 = \frac{3,7}{3} = 1,233\overline{3} \quad(\text{ou } \frac{37}{30}).

Passo 5

Aplicando Simpson 3/8 em x_2=0,2 até x_5=0,5 (três subintervalos, h=0,1).
Fórmula da 3/8:
\int_{x_2}^{x_5} f(x)\,dx \approx \frac{3h}{8}\big(f_2 + 3f_3 + 3f_4 + f_5\big).
Valores: f_2=4, f_3=3,5, f_4=5, f_5=1. Somando dentro:
f_2 + 3f_3 + 3f_4 + f_5 = 4 + 3\cdot 3,5 + 3\cdot 5 + 1 = 4 + 10,5 + 15 + 1 = 30,5.
Agora aplicar a fórmula com h=0,1:
\int_{0,2}^{0,5} f(x)\,dx \approx \frac{3\cdot 0,1}{8}\cdot 30,5 = \frac{0,3}{8}\cdot 30,5.
Calcule:
\frac{0,3}{8}\cdot 30,5 = 0,0375\cdot 30,5 = 1,14375 \quad(\text{ou } \frac{183}{160}).

Passo 6

Somando as duas partes de Simpson para obter a aproximação total:
\int_{0}^{0,5} f(x)\,dx \approx 1,233\overline{3} + 1,14375 = 2,377083333\ldots
Em fração exata (somando \frac{37}{30} e \frac{183}{160}) obtém-se
\frac{37}{30} + \frac{183}{160} = \frac{1141}{480} \approx 2,3770833\ldots
Portanto, pela combinação das regras de Simpson obtemos aproximadamente 2,3770833.
Força aí — você já tem a integral por trapézio e por Simpson, e agora dá para comparar a diferença: Simpson normalmente é mais preciso quando a função é bem aproximada por polinômios locais.

Resposta

(a) 2,15
(b) \dfrac{1141}{480}\approx 2,3770833

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