9- Calcule a integral dos seguintes dados tabulados com (a) a regra do trapézio e (b) regras de Simpson.
x
-2
0
2
4
6
8
10
35
5
-10
2
5
3
20
| x | -2 | 0 | 2 | 4 | 6 | 8 | 10 |
|
|
35 | 5 | -10 | 2 | 5 | 3 | 20 |
Passo 1
O enunciado pede que integremos, aproximando a integral pelos métodos numéricos: (a) regra do trapézio composta e (b) regra de Simpson composta, usando os dados tabulados abaixo:
Dados relevantes que extraí do enunciado:
Os pontos estão igualmente espaçados; a distância entre nós é
A integral aproximada que queremos é
avaliada com (a) a regra do trapézio composta e (b) a regra de Simpson composta. A resolução começa no próximo passo.
Passo 2
Regra do trapézio composta — explicação e fórmula.
O método do trapézio aproxima a curva entre dois nós por uma reta e calcula a área do trapézio formado. Para muitos subintervalos igualmente espaçados (regra composta) a fórmula é:
onde:
-
é o número de subintervalos (aqui , pois temos 7 pontos), -
é o passo ( ), -
é o valor no primeiro nó e no último nó, - a soma
soma os valores internos.
Agora aplicamos a fórmula com nossos valores.
Passo 3
Cálculo passo a passo da regra do trapézio.
Primeiro calcule a soma dos valores internos:
Vamos somar devagar:
Logo
.
Aplicando a fórmula do trapézio:
Calcule o interior:
Portanto,
Passo 4
Regra de Simpson composta — explicação e fórmula.
A regra de Simpson aproxima a função por polinômios quadráticos em pares de subintervalos. A forma composta (Simpson 1/3) para
subintervalos (com
par) e passo
é:
Aqui devemos checar a condição:
é par, então a regra de Simpson composta é aplicável.
Expliquei as partes:
-
soma todos os com índice ímpar ( ), -
soma os com índice par interior ( ).
Passo 5
Cálculo das somas para Simpson.
Calcule a soma dos índices ímpares:
Calcule a soma dos índices pares interiores:
Agora aplique a fórmula de Simpson:
Substituindo
,
,
:
Calcule o interior:
Então:
Em decimal aproximado:
Passo 6
Interpretação rápida (motivação e dica para prova).
- A regra do trapézio deu
e Simpson deu . Em geral Simpson costuma ser mais acurada quando a função é bem aproximada por quadráticas entre nós. A diferença entre os resultados mostra que a aproximação linear (trapézio) e a quadrática (Simpson) podem divergir; se houver tempo na prova, prefira Simpson quando aplicável (n par). - Dica prática: sempre verifique se os pontos estão igualmente espaçados e se
é par antes de usar Simpson composta.
Resposta
(a)
(b)
(b)