9- Calcule a integral dos seguintes dados tabulados com (a) a regra do trapézio e (b) regras de Simpson.
x -2 0 2 4 6 8 10
\mathrm{f}(\mathrm{x}) 35 5 -10 2 5 3 20

Passo 1

O enunciado pede que integremos, aproximando a integral pelos métodos numéricos: (a) regra do trapézio composta e (b) regra de Simpson composta, usando os dados tabulados abaixo:
\begin{array}{c|ccccccc} x & -2 & 0 & 2 & 4 & 6 & 8 & 10\\hline f(x) & 35 & 5 & -10 & 2 & 5 & 3 & 20 \end{array}
Dados relevantes que extraí do enunciado:
x_0=-2,\; x_1=0,\; x_2=2,\; x_3=4,\; x_4=6,\; x_5=8,\; x_6=10,
f_0=35,\; f_1=5,\; f_2=-10,\; f_3=2,\; f_4=5,\; f_5=3,\; f_6=20.
Os pontos estão igualmente espaçados; a distância entre nós é
h = x_{i+1}-x_i = 2.
A integral aproximada que queremos é
\int_{-2}^{10} f(x)\,dx,
avaliada com (a) a regra do trapézio composta e (b) a regra de Simpson composta. A resolução começa no próximo passo.

Passo 2

Regra do trapézio composta — explicação e fórmula.
O método do trapézio aproxima a curva entre dois nós por uma reta e calcula a área do trapézio formado. Para muitos subintervalos igualmente espaçados (regra composta) a fórmula é:
\text{Trapezoide:}\quad \int_{a}^{b} f(x)\,dx \approx \frac{h}{2}\left(f_0 + 2\sum_{i=1}^{n-1} f_i + f_n\right),
onde:
  • n é o número de subintervalos (aqui n=6, pois temos 7 pontos),
  • h é o passo ( h=2),
  • f_0 é o valor no primeiro nó e f_n no último nó,
  • a soma \sum_{i=1}^{n-1} f_i soma os valores internos.
Agora aplicamos a fórmula com nossos valores.

Passo 3

Cálculo passo a passo da regra do trapézio.
Primeiro calcule a soma dos valores internos:
\sum_{i=1}^{5} f_i = f_1+f_2+f_3+f_4+f_5 = 5 + (-10) + 2 + 5 + 3.
Vamos somar devagar:
5 + (-10) = -5,
-5 + 2 = -3,
-3 + 5 = 2,
2 + 3 = 5.
Logo \sum_{i=1}^{5} f_i = 5.
Aplicando a fórmula do trapézio:
\int_{-2}^{10} f(x)\,dx \approx \frac{h}{2}\big(f_0 + 2\cdot 5 + f_6\big) = \frac{2}{2}\big(35 + 10 + 20\big).
Calcule o interior:
35 + 10 + 20 = 65.
Portanto,
\text{Resultado (trapézio)} = 65.é

Passo 4

Regra de Simpson composta — explicação e fórmula.
A regra de Simpson aproxima a função por polinômios quadráticos em pares de subintervalos. A forma composta (Simpson 1/3) para n subintervalos (com n par) e passo h é:
\text{Simpson:}\quad \int_{a}^{b} f(x)\,dx \approx \frac{h}{3}\left(f_0 + f_n + 4\sum_{\text{índices ímpares}} f_i + 2\sum_{\text{índices pares, }1\le i\le n-1} f_i\right).ííí
Aqui devemos checar a condição: n=6 é par, então a regra de Simpson composta é aplicável.
Expliquei as partes:
  • 4\sum_{\text{ímpares}} f_ií soma todos os f_i com índice ímpar ( i=1,3,5,\dots),
  • 2\sum_{\text{pares}} f_i soma os f_i com índice par interior ( i=2,4,\dots).

Passo 5

Cálculo das somas para Simpson.
Calcule a soma dos índices ímpares:
f_1+f_3+f_5 = 5 + 2 + 3 = 10.
Calcule a soma dos índices pares interiores:
f_2+f_4 = (-10) + 5 = -5.
Agora aplique a fórmula de Simpson:
\int_{-2}^{10} f(x)\,dx \approx \frac{h}{3}\big(f_0 + f_6 + 4\cdot(10) + 2\cdot(-5)\big).
Substituindo h=2, f_0=35, f_6=20:
\int_{-2}^{10} f(x)\,dx \approx \frac{2}{3}\big(35 + 20 + 40 -10\big).
Calcule o interior:
35 + 20 = 55,\quad 55 + 40 = 95,\quad 95 - 10 = 85.
Então:
\int_{-2}^{10} f(x)\,dx \approx \frac{2}{3}\cdot 85 = \frac{170}{3}.
Em decimal aproximado:
\frac{170}{3}\approx 56{,}6667.

Passo 6

Interpretação rápida (motivação e dica para prova).
  • A regra do trapézio deu \;65 e Simpson deu \;\frac{170}{3}\approx56{,}6667. Em geral Simpson costuma ser mais acurada quando a função é bem aproximada por quadráticas entre nós. A diferença entre os resultados mostra que a aproximação linear (trapézio) e a quadrática (Simpson) podem divergir; se houver tempo na prova, prefira Simpson quando aplicável (n par).
  • Dica prática: sempre verifique se os pontos estão igualmente espaçados e se n é par antes de usar Simpson composta.

Resposta

(a) 65
(b) \dfrac{170}{3}\approx56{,}6667

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