Resolver os seguintes problemas:
Um triângulo está inscrito em uma semicircunferência de raio R. Seus lados medem a, b e 2 R. Calcule a e b quando a área do triângulo é máxima.

Passo 1

O enunciado diz que temos um triângulo inscrito numa semicircunferência de raio R, cujos lados medem a, b e 2R. Como ele está inscrito numa semicircunferência tendo o diâmetro como lado, trata-se de um triângulo retângulo (Teorema de Thales). Queremos escolher os catetos a e b de modo que a área seja máxima, mantendo a hipotenusa fixa em 2R. Para isso, faremos otimização de função.

Passo 2

Pelo Teorema de Pitágoras aplicado ao triângulo retângulo de hipotenusa 2R e catetos a e b, temos
a^2 + b^2 = (2R)^2 = 4R^2

Passo 3

A área A de um triângulo retângulo é dada por
A = a,b2
Queremos maximizar A sob a restrição a^2+b^2=4R^2.

Passo 4

Da relação a^2 + b^2 = 4R^2 isolamos
b = raiz4R^2 - a^2,
de modo que a área em função de a fica
A(a) = a2,raiz4R^2 - a^2

Passo 5

Derivando A(a) em relação a a e igualando a zero para encontrar o extremo interno, temos
A'(a) = 12l(raiz4R^2 - a^2 ;+; acdot-araiz4R^2 - a^2r) = 4R^2 - 2a^22,raiz4R^2 - a^2
Impondo A'(a)=0 (e lembrando 0<a<2R), vem
4R^2 - 2a^2 = 0 Longrightarrow a^2 = 2R^2 Longrightarrow a = raiz2,R
Então
b = raiz4R^2 - a^2 = raiz4R^2 - 2R^2 = raiz2,R

Resposta

a = b = raiz2,R.

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