Resolver os seguintes problemas:
Um triângulo está inscrito em uma semicircunferência de raio
. Seus lados medem
e
. Calcule
e
quando a área do triângulo é máxima.
Um triângulo está inscrito em uma semicircunferência de raio
Passo 1
O enunciado diz que temos um triângulo inscrito numa semicircunferência de raio
, cujos lados medem
,
e
. Como ele está inscrito numa semicircunferência tendo o diâmetro como lado, trata-se de um triângulo retângulo (Teorema de Thales). Queremos escolher os catetos
e
de modo que a área seja máxima, mantendo a hipotenusa fixa em
. Para isso, faremos otimização de função.
Passo 2
Pelo Teorema de Pitágoras aplicado ao triângulo retângulo de hipotenusa
e catetos
e
, temos
Passo 3
A área
de um triângulo retângulo é dada por
Queremos maximizar
sob a restrição
.
Passo 4
Da relação
isolamos
de modo que a área em função de
fica
Passo 5
Derivando
em relação a
e igualando a zero para encontrar o extremo interno, temos
Impondo
(e lembrando
), vem
Então