Encontre os quatro primeiros termos não nulos da série de potências em torno de x=x0 da solução geral da equação diferencial
x^2 y^prime prime-y^prime+y=0
x0=2

Passo 1

Beleza, vamos lá! Temos uma equação diferencial do tipo x^2 y'' - y' + y = 0 e precisamos encontrar os quatro primeiros termos não nulos da sua série de potências em torno de x0 = 2. Para resolver isso, vamos usar a expansão em série de potências, que nos permite representar a solução da equação como uma soma infinita de termos envolvendo potências de (x - 2). Vamos precisar calcular as derivadas da série e substituir na equação original para encontrar os coeficientes dos termos.

Passo 2

Primeiro, assumimos que a solução y(x) pode ser escrita como uma série de potências centrada em x0 = 2:
y(x) = sumn=0^infty an (x - 2)^n
Aqui, an são os coeficientes que precisamos determinar.

Passo 3

Vamos calcular as primeiras derivadas de y(x):
y'(x) = sumn=1^infty n an (x - 2)^n-1
y''(x) = sumn=2^infty n(n-1) an (x - 2)^n-2

Passo 4

Agora, precisamos multiplicar y''(x) por x^2. Como estamos centrando a série em x0 = 2, escrevemos x = 2 + (x - 2) e expandimos x^2:
x^2 = (2 + (x - 2))^2 = 4 + 4(x - 2) + (x - 2)^2
Então,
x^2 y'' = 4 y'' + 4(x - 2) y'' + (x - 2)^2 y''

Passo 5

Substituímos x^2 y'', y' e y na equação diferencial original:
4 y'' + 4(x - 2) y'' + (x - 2)^2 y'' - y' + y = 0
Agora, substituímos as séries que encontramos para y, y' e y''.

Passo 6

Vamos reescrever todas as séries em termos de (x - 2)^n:
  • Para 4 y'':
4 sumn=2^infty n(n-1) an (x - 2)^n-2
  • Para 4(x - 2) y'':
4 sumn=2^infty n(n-1) an (x - 2)^n-1
  • Para (x - 2)^2 y'':
sumn=2^infty n(n-1) an (x - 2)^n
  • Para -y':
- sumn=1^infty n an (x - 2)^n-1
  • Para y:
sumn=0^infty an (x - 2)^n

Passo 7

Agora, ajustamos os índices das somas para que todas as séries estejam em termos de (x - 2)^n:
  • Para 4 y'', substituímos m = n - 2:
4 summ=0^infty (m+2)(m+1) am+2 (x - 2)^m
  • Para 4(x - 2) y'', substituímos m = n - 1:
4 summ=0^infty (m+1)m am+1 (x - 2)^m
  • Para (x - 2)^2 y'', já está em termos de (x - 2)^n:
sumn=2^infty n(n-1) an (x - 2)^n
  • Para -y', substituímos m = n - 1:
- summ=0^infty (m+1) am+1 (x - 2)^m
  • Para y, já está em termos de (x - 2)^n:
sumn=0^infty an (x - 2)^n

Passo 8

Igualamos os coeficientes de cada potência de (x - 2)^n a zero para satisfazer a equação. Para cada n, temos:
4(m+2)(m+1) am+2 + 4(m+1)m am+1 + n(n-1) an - (m+1) am+1 + an = 0
Resolvendo isso para os primeiros termos, encontramos:
  • Para n = 0:
4(2)(1) a2 + 4(1)(0) a1 + 0 - (1) a1 + a0 = 0 Rightarrow 8a2 - a1 + a0 = 0
  • Para n = 1:
4(3)(2) a3 + 4(2)(1) a2 + 2a1 - 2a2 + a1 = 0 Rightarrow 24a3 + 8a2 + 3a1 = 0
E assim por diante.

Passo 9

Vamos resolver as equações para encontrar os coeficientes:
  • Supondo a0 conhecido (condição inicial), por exemplo, a0 = C.
  • De 8a2 - a1 + C = 0, podemos expressar a2 em função de a1:
a2 = a1 - C8
  • De 24a3 + 8a2 + 3a1 = 0, substituímos a2:
24a3 + 8(a1 - C8) + 3a1 = 0 Rightarrow 24a3 + a1 - C + 3a1 = 0 Rightarrow 24a3 = C - 4a1 Rightarrow a3 = C - 4a124
Continuamos esse processo para encontrar mais coeficientes.

Resposta

Os quatro primeiros termos não nulos da série de potências da solução geral são:
y(x) = a0 + a1 (x - 2) + a1 - a08 (x - 2)^2 + a0 - 4a124 (x - 2)^3 + dots

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