Encontre os quatro primeiros termos não nulos da série de potências em torno de
da solução geral da equação diferencial
Passo 1
Beleza, vamos lá! Temos uma equação diferencial do tipo
e precisamos encontrar os quatro primeiros termos não nulos da sua série de potências em torno de
. Para resolver isso, vamos usar a expansão em série de potências, que nos permite representar a solução da equação como uma soma infinita de termos envolvendo potências de
. Vamos precisar calcular as derivadas da série e substituir na equação original para encontrar os coeficientes dos termos.
Passo 2
Primeiro, assumimos que a solução
pode ser escrita como uma série de potências centrada em
:
Aqui,
são os coeficientes que precisamos determinar.
Passo 3
Vamos calcular as primeiras derivadas de
:
Passo 4
Agora, precisamos multiplicar
por
. Como estamos centrando a série em
, escrevemos
e expandimos
:
Então,
Passo 5
Substituímos
,
e
na equação diferencial original:
Agora, substituímos as séries que encontramos para
,
e
.
Passo 6
Vamos reescrever todas as séries em termos de
:
- Para
:
- Para
:
- Para
:
- Para
:
- Para
:
Passo 7
Agora, ajustamos os índices das somas para que todas as séries estejam em termos de
:
- Para
, substituímos :
- Para
, substituímos :
- Para
, já está em termos de :
- Para
, substituímos :
- Para
, já está em termos de :
Passo 8
Igualamos os coeficientes de cada potência de
a zero para satisfazer a equação. Para cada
, temos:
Resolvendo isso para os primeiros termos, encontramos:
- Para
:
- Para
:
E assim por diante.
Passo 9
Vamos resolver as equações para encontrar os coeficientes:
- Supondo
conhecido (condição inicial), por exemplo, . - De
, podemos expressar em função de :
- De
, substituímos :
Continuamos esse processo para encontrar mais coeficientes.
Resposta
Os quatro primeiros termos não nulos da série de potências da solução geral são: