Calcule:
integral sen^4 x cos 2 x d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular integral sin^4x,cos2x,dx. O conteúdo aqui é integração de funções trigonométricas usando redução de potência e identidades trigonométricas. Vamos precisar expressar «cos 2x» em termos de «sen x» e usar fórmulas de redução de potência para integrar sin^4x e sin^6x.

Passo 2

Primeiro, uso a identidade cos2x = 1 - 2sin^2x para reescrever o integrando:
sin^4x,cos2x = sin^4x,(1 - 2sin^2x) = sin^4x - 2sin^6x
Assim,
integral sin^4x,cos2x,dx = integral sin^4x,dx - 2integral sin^6x,dx

Passo 3

Agora calculo integral sin^4x,dx usando redução de potência. Primeiro,
sin^4x = l(1 - cos2x2r)^2 = 1 - 2cos2x + cos^2 2x4 = 3 - 4cos2x + cos4x8
Portanto
integral sin^4x,dx = integral l(38 - 12cos2x + 18cos4xr)dx = 38x - 14sin2x + 132sin4x + C1

Passo 4

Agora calculo integral sin^6x,dx de forma análoga. Primeiro,
sin^6x = l(1 - cos2x2r)^3 = 1 - 3cos2x + 3cos^2 2x - cos^3 2x8 = 10 - 15cos2x + 6cos4x - cos6x32
Logo
$$
\int \sin^6x,dx = \int \Bigl(\frac{10}{32} - \frac{15}{32}\cos2x + \frac{6}{32}\cos4x - \frac{1}{32}\cos6x\Bigr)dx $$
integral sin^6x,dx = integral l(1032 - 1532cos2x + 632cos4x - 132cos6xr)dx

Passo 5

Substituo de volta em integral sin^4x,dx - 2integral sin^6x,dx e simplifico constantes:
integral sin^4x,cos2x,dx = l(38x - 14sin2x + 132sin4xr) - 2l(516x - 1564sin2x + 364sin4x - 1192sin6xr) + C
Fazendo as contas, chega-se a
-14x + 732sin2x - 116sin4x + 196sin6x + C

Resposta

-\frac{1}{4}x + \frac{7}{32}\sin2x - \frac{1}{16}\sin4x + \frac{1}{96}\sin6x + C

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