Calcule:
Passo 1
O enunciado pede para calcular
. O conteúdo aqui é integração de funções trigonométricas usando redução de potência e identidades trigonométricas. Vamos precisar expressar «cos 2x» em termos de «sen x» e usar fórmulas de redução de potência para integrar
e
.
Passo 2
Primeiro, uso a identidade
para reescrever o integrando:
Assim,
Passo 3
Agora calculo
usando redução de potência. Primeiro,
Portanto
Passo 4
Agora calculo
de forma análoga. Primeiro,
Logo
$$
\int \sin^6x,dx = \int \Bigl(\frac{10}{32} - \frac{15}{32}\cos2x + \frac{6}{32}\cos4x - \frac{1}{32}\cos6x\Bigr)dx $$
Passo 5
Substituo de volta em
e simplifico constantes:
Fazendo as contas, chega-se a
Resposta
-\frac{1}{4}x + \frac{7}{32}\sin2x - \frac{1}{16}\sin4x + \frac{1}{96}\sin6x + C