Calcule integralgamma F cdot d r onde
F(x, y, z)=(2-y, x, x+y+z)
gamma(t)=(t-sin t, 1-cos t, sin t+cos t-t-1), t in[0,2 pi]
Escolha uma opção:
  • -2 pi
    ○ 0
    pi
  • 2 pi
  • -pi

Passo 1

O enunciado pede pra calcular a integral de linha de um campo vetorial vec F ao longo da curva fechada gamma. O conteúdo envolvido é integral de linha de campo vetorial, e vamos precisar usar a parametrização gamma(t) e a definição integralgammavec Fcdot dvec r=integrala^bvec F(gamma(t))cdotgamma'(t),dt.

Passo 2

Vamos calcular o vetor velocidade gamma'(t) e avaliar vec F na parametrização. Temos
gamma'(t)=(x'(t),y'(t),z'(t))=(1-cos t,;sin t,;cos t-sin t-1)
Como x+y+z=0 ao longo de gamma, o terceiro componente de vec F é zero. Logo,
vec F(gamma(t))=(2-y,,x,,0)=(1+cos t,,t-sin t,,0)

Passo 3

O produto escalar vec F(gamma(t))cdotgamma'(t) fica
l(1+cos tr)(1-cos t)+(t-sin t)sin t =1-cos^2t +tsin t-sin^2t =tsin t

Passo 4

Agora integramos de 0 a 2pi: usamos integração por partes em integral tsin t,dt:
integral tsin t,dt=-tcos t+sin t+ C

Passo 5

Portanto,
integral0^2pitsin t,dt=l[-tcos t+sin tr]0^2pi=-2picdot1+0-0= -2pi

Resposta

-2\pi

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