Calcule integral sen(4 x) cos (5 x) d x.

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral integral sen(4x),cos(5x),dx. O conteúdo principal é integração de produto de funções trigonométricas, e vamos precisar usar a identidade de produto-para-soma para quebrar esse produto em soma de senos.

Passo 2

A identidade de produto-para-soma diz que
sin A,cos B = 12l(sin(A+B) + sin(A-B)r)
Essa transformação facilita a integração, pois passamos de um produto para uma soma de funções mais simples.

Passo 3

Aplicando essa identidade ao nosso integrando, temos
sin(4x)cos(5x) = 12l(sin(4x+5x) + sin(4x-5x)r) = 12l(sin(9x) + sin(-x)r) = 12l(sin(9x) - sin(x)r)
Logo,
integral sin(4x)cos(5x),dx = 12 integrall(sin(9x) - sin(x)r),dx

Passo 4

Para integrar termo a termo, usamos a regra integral sin(kx),dx = -1kcos(kx) + C. Assim,
integrall(sin(9x) - sin(x)r),dx = -19cos(9x) + cos(x) + C

Passo 5

Agora é só lembrar do fator tfrac12 que estava em frente à integral e incluir a constante de integração final. A simplificação leva à forma mais enxuta, que está na resposta final.

Resposta

-118cos(9x) + tfrac12cos(x) + C

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