Determine o domínio e a imagem da seguinte função:
z=4+x^2+y^2

Passo 1

O enunciado define a função de duas variáveis
z = 4 + x^2 + y^2
e pede que a gente encontre o domínio (todos os pares (x,y) para os quais a função faz sentido) e a imagem (todos os valores de z que a função atinge).

Passo 2

Como a expressão 4 + x^2 + y^2 é um polinômio em x e y, ela está bem definida para qualquer valor real de x e de y. Logo, o domínio é
D = R^2

Passo 3

Para achar a imagem, note que
x^2 >= 0 e y^2 >= 0 Longrightarrow x^2 + y^2 >= 0
Assim,
z = 4 + x^2 + y^2 >= 4,
e o valor mínimo 4 ocorre exatamente em x=0 e y=0. Portanto, a função atinge todos os valores a partir de 4.

Resposta

Domínio: R^2
Imagem: [4,infty)

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