Calcule a integral integral dupla y d A sendo a região integração no primeiro quadrante limitada por x^2+y^2=2 y e acima da reta y=x.

Passo 1

Vamos resolver a integral dupla integral dupla y , dA no primeiro quadrante, limitado pela curva x^2+y^2=2y e acima da reta y=x. Aqui, estamos trabalhando com cálculo de integrais duplas em regiões planas, utilizando coordenadas cartesianas. Para resolver, vamos identificar a região de integração e configurar os limites de integração adequadamente.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a curva x^2 + y^2 = 2y. Podemos reescrever essa equação completando o quadrado para identificar o centro e o raio da circunferência:
x^2 + y^2 - 2y = 0
x^2 + (y^2 - 2y + 1) = 1
x^2 + (y - 1)^2 = 1
Isso representa uma circunferência com centro em (0,1) e raio 1.

Passo 3

Agora, vamos identificar onde a reta y = x intersecta a circunferência. Substituindo y = x na equação da circunferência:
x^2 + x^2 - 2x = 0
2x^2 - 2x = 0
2x(x - 1) = 0
Assim, as interseções ocorrem em x = 0 e x = 1, ou seja, os pontos (0,0) e (1,1).

Passo 4

Com isso, a região de integração está entre x = 0 e x = 1, e para cada x nesse intervalo, y varia da reta y = x até a parte superior da circunferência y = 1 + raiz1 - x^2. Contudo, como estamos no primeiro quadrante e a circunferência está centrada em (0,1), a parte superior é simplesmente y = 1 + raiz1 - x^2, mas podemos simplificar para y = 1 + raiz1 - x^2.

Passo 5

Entretanto, para facilitar a integração, vamos resolver para y expressando a circunferência de outra forma:
y^2 - 2y + x^2 = 0
y^2 - 2y = -x^2
y^2 - 2y + 1 = 1 - x^2
(y - 1)^2 = 1 - x^2
y - 1 = raiz1 - x^2
y = 1 + raiz1 - x^2
Mas na verdade, a parte da circunferência que está acima de y = x é y = 1 + raiz1 - x^2. Porém, para simplificar a integral, podemos usar a forma parametrizada ou coordenadas polares, mas continuaremos em cartesianas.

Passo 6

Assim, a integral dupla fica:
integralx=0^1 integraly=x^1 + raiz1 - x^2 y , dy , dx
Vamos calcular a integral interna primeiro:
integraly=x^1 + raiz1 - x^2 y , dy = [ y^22 ]y=x^1 + raiz1 - x^2
= (1 + raiz1 - x^2)^22 - x^22

Passo 7

Agora, expandimos (1 + raiz1 - x^2)^2:
1 + 2raiz1 - x^2 + (1 - x^2) = 2 + 2raiz1 - x^2 - x^2
Substituindo de volta na integral:
2 + 2raiz1 - x^2 - x^22 - x^22 = 1 + raiz1 - x^2 - x^2

Passo 8

Então, a integral agora é:
integral0^1 (1 + raiz1 - x^2 - x^2 ) dx
Vamos calcular cada termo separadamente:
integral0^1 1 , dx = [x]0^1 = 1
integral0^1 raiz1 - x^2 , dx = pi4 (esta é uma integral conhecida, representando um quarto de círculo de raio 1)
integral0^1 x^2 , dx = [ x^33 ]0^1 = 13

Passo 9

Somando os resultados:
1 + pi4 - 13 = (1 - 13) + pi4 = 23 + pi4

Resposta

A integral dupla vale 23 + pi4.

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