Calcule a integral
sendo a região integração no primeiro quadrante limitada por
e acima da reta
.
Passo 1
Vamos resolver a integral dupla
no primeiro quadrante, limitado pela curva
e acima da reta
. Aqui, estamos trabalhando com cálculo de integrais duplas em regiões planas, utilizando coordenadas cartesianas. Para resolver, vamos identificar a região de integração e configurar os limites de integração adequadamente.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a curva
. Podemos reescrever essa equação completando o quadrado para identificar o centro e o raio da circunferência:
Isso representa uma circunferência com centro em
e raio
.
Passo 3
Agora, vamos identificar onde a reta
intersecta a circunferência. Substituindo
na equação da circunferência:
Assim, as interseções ocorrem em
e
, ou seja, os pontos
e
.
Passo 4
Com isso, a região de integração está entre
e
, e para cada
nesse intervalo,
varia da reta
até a parte superior da circunferência
. Contudo, como estamos no primeiro quadrante e a circunferência está centrada em
, a parte superior é simplesmente
, mas podemos simplificar para
.
Passo 5
Entretanto, para facilitar a integração, vamos resolver para
expressando a circunferência de outra forma:
Mas na verdade, a parte da circunferência que está acima de
é
. Porém, para simplificar a integral, podemos usar a forma parametrizada ou coordenadas polares, mas continuaremos em cartesianas.
Passo 6
Assim, a integral dupla fica:
Vamos calcular a integral interna primeiro:
Passo 7
Agora, expandimos
:
Substituindo de volta na integral:
Passo 8
Então, a integral agora é:
Vamos calcular cada termo separadamente:
Passo 9
Somando os resultados:
Resposta
A integral dupla vale
.