Inverta a ordem de integração para dxdydz e em seguida calcule a integral
Passo 1
Beleza, vamos lá! Você tem uma integral tripla onde a ordem de integração é
. O objetivo aqui é inverter essa ordem para
e depois calcular a integral. Para isso, vamos precisar entender como os limites de integração funcionam e como podemos reescrevê-los na nova ordem. Vamos passo a passo!
Passo 2
Primeiro, observe os limites de integração originais:
Aqui,
varia de
a
,
varia de
a
, e
varia de
a
. Vamos desenhar ou imaginar essa região no espaço tridimensional para entender melhor como inverter a ordem.
Passo 3
Para inverter a ordem de integração para
, precisamos expressar os limites de
em função de
e
, os limites de
em função de
, e os limites de
serão os mais externos.
Analisando os limites originais:
-
varia de a . - Para cada
, varia de a . - Para cada
, varia de a .
Vamos determinar os novos limites:
-
varia de a , então para , o limite superior depende de . -
varia de a . Mas queremos em função de . -
varia de a , mas agora queremos em função de e .
Passo 4
Para encontrar os novos limites, vamos resolver as desigualdades:
-
implica . -
implica e .
Agora, vamos determinar os limites para cada variável:
-
varia de a . - Para cada
, varia de a . - Para cada
, varia de a .
Passo 5
Agora que temos os novos limites, podemos reescrever a integral na ordem
:
Passo 6
Vamos calcular a integral passo a passo. Primeiro, integramos em relação a
:
Sabemos que:
Então:
Passo 7
Como a integral em relação a
resultou em zero, toda a integral tripla será zero. Isso ocorre porque a função
é ímpar em
e simétrica em relação a
, fazendo com que as áreas positivas e negativas se cancelem.
Resposta
A integral avaliada é igual a
.