Inverta a ordem de integração para dxdydz e em seguida calcule a integral
integral-1^1 integralx^2^1 integral0^1-y x y z d z d y d x

Passo 1

Beleza, vamos lá! Você tem uma integral tripla onde a ordem de integração é dx, dy, dz . O objetivo aqui é inverter essa ordem para dx, dy, dz e depois calcular a integral. Para isso, vamos precisar entender como os limites de integração funcionam e como podemos reescrevê-los na nova ordem. Vamos passo a passo!

Passo 2

Primeiro, observe os limites de integração originais:
integral-1^1 integralx^2^1 integral0^1-y x y z , dz , dy , dx
Aqui, x varia de -1 a 1, y varia de x^2 a 1, e z varia de 0 a 1 - y . Vamos desenhar ou imaginar essa região no espaço tridimensional para entender melhor como inverter a ordem.

Passo 3

Para inverter a ordem de integração para dx, dy, dz , precisamos expressar os limites de x em função de y e z , os limites de y em função de z , e os limites de z serão os mais externos.
Analisando os limites originais:
  • x varia de -1 a 1.
  • Para cada x , y varia de x^2 a 1.
  • Para cada y , z varia de 0 a 1 - y .
Vamos determinar os novos limites:
  1. z varia de 0 a 1 - y, então para z , o limite superior depende de y .
  2. y varia de x^2 a 1. Mas queremos y em função de z .
  3. x varia de -1 a 1, mas agora queremos x em função de y e z .

Passo 4

Para encontrar os novos limites, vamos resolver as desigualdades:
  • z <= 1 - y implica y <= 1 - z .
  • y >= x^2 implica x <= raizy e x >= -raizy .
Agora, vamos determinar os limites para cada variável:
  • z varia de 0 a 1.
  • Para cada z , y varia de 0 a 1 - z .
  • Para cada y , x varia de -raizy a raizy.

Passo 5

Agora que temos os novos limites, podemos reescrever a integral na ordem dx, dy, dz :
integral0^1 integral0^1 - z integral-raizy^raizy x y z , dx , dy , dz

Passo 6

Vamos calcular a integral passo a passo. Primeiro, integramos em relação a x :
integral-raizy^raizy x y z , dx = y z integral-raizy^raizy x , dx
Sabemos que:
integral x , dx = x^22
Então:
y z [ x^22 ]-raizy^raizy = y z ( (raizy)^22 - (-raizy)^22 ) = y z ( y2 - y2 ) = 0

Passo 7

Como a integral em relação a x resultou em zero, toda a integral tripla será zero. Isso ocorre porque a função x y z é ímpar em x e simétrica em relação a x , fazendo com que as áreas positivas e negativas se cancelem.

Resposta

A integral avaliada é igual a 0.

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