Calcule a integral tripla integral tripla x^2 d V na região envolvida pelo elipsoide 9 z^2+4 y^2+x^2=
36.

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral tripla
integral triplaV x^2,dV
na região V definida pelo elipsoide
9z^2+4y^2+x^2<=36
O conteúdo que vamos usar é mudança de variáveis para transformar o elipsoide numa esfera unitaria, aproveitando a simetria e o valor conhecido de integral triplau^2+v^2+w^2<=1u^2,dU.

Passo 2

Fazemos a transformação linear
x=6u, y=3v, z=2w,
de modo que a região V vira a bola unitária
u^2+v^2+w^2<=1

Passo 3

Calculamos o jacobiano da transformação:
partial(x,y,z)partial(u,v,w) =det6&0&00&3&00&0&2 =6cdot3cdot2=36
Logo
dV=36,dU,
e como x^2=(6u)^2=36u^2, a integral original fica
integral triplaVx^2,dV =integral triplau^2+v^2+w^2<=136u^2cdot36,dU =1296integral triplau^2+v^2+w^2<=1u^2,dU

Passo 4

Sabemos do cálculo em coordenadas esféricas que
integral triplau^2+v^2+w^2<=1u^2,dU =4pi15
Portanto
1296integral triplau^2+v^2+w^2<=1u^2,dU =1296cdot4pi15 =5184pi15

Resposta

integral triplaVx^2,dV =5184pi15 =1728pi5

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