Mostrar que
integral-pi^pi sen 2 x cos 5 x d x=0

Passo 1

Vamos mostrar que a integral de sin 2x cos 5x de -pi a pi é igual a zero. Esse problema está relacionado ao cálculo de integrais envolvendo funções trigonométricas. Para resolver, vamos usar identidades trigonométricas que facilitam a integração.

Passo 2

Primeiro, vamos usar uma identidade trigonométrica que transforma o produto de seno e cosseno em uma soma. A identidade é:
sin a cos b = 12 [sin(a + b) + sin(a - b)]
Aqui, a = 2x e b = 5x.

Passo 3

Aplicando a identidade, temos:
sin 2x cos 5x = 12 [sin(2x + 5x) + sin(2x - 5x)] = 12 [sin 7x + sin (-3x)]
Lembrando que sin(-theta) = -sin theta, podemos simplificar para:
sin 2x cos 5x = 12 [sin 7x - sin 3x]

Passo 4

Agora, vamos substituir essa expressão na integral original:
integral-pi^pi sin 2x cos 5x , dx = 12 integral-pi^pi (sin 7x - sin 3x) , dx

Passo 5

Vamos dividir a integral em duas partes:
12 ( integral-pi^pi sin 7x , dx - integral-pi^pi sin 3x , dx )

Passo 6

Sabemos que a integral de uma função ímpar (como sin kx) de -a a a é zero, porque as áreas positivas e negativas se cancelam. Tanto sin 7x quanto sin 3x são funções ímpares.

Passo 7

Portanto:
integral-pi^pi sin 7x , dx = 0 e integral-pi^pi sin 3x , dx = 0

Passo 8

Substituindo de volta:
12 (0 - 0) = 0

Resposta

integral-pi^pi sin 2x cos 5x , dx = 0

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