Calcule a integral
integralegral triplaE 1(2+raizx^2+y^2) d V
em que E é o sólido abaixo do paraboloide z=4-(x^2+y^2) e dentro do cilindro x^2+y^2=2 y. Resp.: 329.

Passo 1

O enunciado pede
I = integral triplaE12+raizx^2+y^2,dV
onde E é o sólido limitado acima pelo plano z=0, abaixo pelo paraboloide
z = 4 - (x^2+y^2)
e lateralmente pelo cilindro
x^2 + y^2 = 2y
O conteúdo usado será coordenadas cilíndricas e integração iterada.

Passo 2

Em coordenadas cilíndricas (r,theta,z) temos
x = rcostheta, y = rsintheta, dV = r,dr,dtheta,dz,
o cilindro x^2+y^2=2y vira
r^2 = 2rsinthetaLongrightarrow r = 2sintheta,
e o paraboloide z=4-r^2. Logo
0 <= z <= 4 - r^2, 0 <= r <= 2sintheta, 0 <= theta <= pi

Passo 3

O integrando não depende de z, logo fazemos primeiro a integral em z:
integralz=0^4-r^212+r,dz = 4-r^22+r
Assim
I = integral0^pi!integral0^2sintheta 4 - r^22 + r;r,dr,dtheta

Passo 4

Fazemos a divisão polinomial
r(4 - r^2)2+r = -r^3 +4rr+2 = -r^2 +2r
Então
I = integral0^pi!integral0^2sinthetal(-r^2+2rr),dr,dtheta = integral0^pil[-r^33+r^2r]0^2sinthetadtheta = integral0^pil(-tfrac83sin^3theta+4sin^2thetar)dtheta

Passo 5

Usamos as integrais conhecidas
integral0^pisin^2theta,dtheta = pi2, integral0^pisin^3theta,dtheta = 43
Portanto
I = -83cdot43 + 4cdotpi2 = -329 + 2pi

Resposta

I = 2pi ;-;329

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