Considere o campo vetorial
F}(x,y,z)=(\mp@subsup{e}{}{\mp@subsup{x}{}{2}}-y)\mathbf{i}+(\operatorname{cos}(\mp@subsup{y}{}{2})+\mp@subsup{z}{}{2})\mathbf{j}+\operatorname{ln}(1+\mp@subsup{z}{}{2})\mathbf{k
e seja }\gamma\mathrm{ a curva de parametrização
\gamma(t)=(\operatorname{cos}t,\operatorname{sin}t,2-\operatorname{cos}t),\quadt\in[0,2\pi].
Calcule }\mp@subsup{\int}{\gamma}{}\mathbf{F}\cdotd\mathbf{r}\mathrm{ .
Sugestão. Use o Teorema de Stokes.

Passo 1

O enunciado pede o cálculo do integral de linha fechado
ointgammaFcdot dr,
onde
F(x,y,z)=(e^x^2-y),i+(cos(y^2)+z^2),j+ln(1+z^2),k
e
gamma(t)=(cos t,;sin t,;2-cos t), tin[0,2pi]
Como gamma é curva fechada, vamos usar o Teorema de Stokes:
ointgammaFcdot dr=integral duplaS(nablatimesF)cdotn,dS,
onde S é uma superfície cujo contorno é gamma.

Passo 2

Calculamos o rotacional nablatimesF. Para
F=(P,Q,R) com
P=e^x^2-y, Q=cos(y^2)+z^2, R=ln(1+z^2),
temos
nablatimesF = i&j&k partialx&partialy&partialz P&Q&R =(partialyR-partialzQ),i+(partialzP-partialxR),j+(partialxQ-partialyP),k
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partialyR=0, partialzQ=2z, partialzP=0, partialxR=0, partialxQ=0, partialyP=-1,
de onde
nablatimesF=(-2z),i+0,j+1,k

Passo 3

A curva gamma está em Scolon z=2-x sobre o disco Dcolon x^2+y^2<=1.
Parametrizamos S por r(x,y)=(x,y,2-x), (x,y)in D.
Então
rx=(1,0,-1), ry=(0,1,0), n,dS=rxtimesry=(1,0,1),dA,
escolhendo a orientação com componente k>0 para coincidir com o sentido CCW de gamma.

Passo 4

Pelo Teorema de Stokes:
ointgammaFcdot dr =integral duplaD(nablatimesF)cdotn,dA =integral duplaDl((-2z,0,1)cdot(1,0,1)r),dA =integral duplaD(-2z+1),dA
Na superfície z=2-x isso vira
-2z+1=-2(2-x)+1=2x-3,
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ointgammaFcdot dr =integral duplaD(2x-3),dA

Passo 5

Separamos em duas integrais sobre o disco unitário D:
integral duplaD2x,dA=2integralDx,dA=0 (simetria em x),
integral duplaD(-3),dA=-3cdotArea(D)=-3pi
Somando,
ointgammaFcdot dr=0-3pi=-3pi

Resposta

-3pi

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