Calcule a integral (Substituição):
integral x e^-2 x^2 d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral
integral x e^-2x^2,dx
usando o método de substituição. Vamos escolher uma mudança de variável que torne o exponencial mais simples de integrar.

Passo 2

Definimos a substituição
u = -2x^2
Diferenciando ambos os lados em relação a x, obtemos
du = -4x,dx

Passo 3

Isolamos x,dx em termos de du:
x,dx = -tfrac14,du

Passo 4

Com isso, reescrevemos a integral original trocando x,dx por -tfrac14du e e^-2x^2 por e^u:
integral x e^-2x^2,dx = integral e^u,l(x,dxr) = integral e^u(-tfrac14du) = -tfrac14integral e^u,du

Passo 5

Agora basta integrar e^u:
-tfrac14integral e^u,du = -tfrac14,e^u + C

Passo 6

Voltando à variável original ( u = -2x^2), concluímos que
-tfrac14,e^u + C = -tfrac14,e^-2x^2 + C

Resposta

-tfrac14,e^-2x^2 + C

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