Calcule a integral (Substituição):
integral x^2 raiz2 x^3+1 d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral indefinida
integral x^2raiz2x^3+1,dx
Usaremos o método de substituição, que consiste em identificar parte do integrando cuja derivada aparece multiplicada em seguida. Aqui a expressão dentro da raiz é um bom candidato para a substituição.

Passo 2

Definimos
u = 2x^3+1
Diferenciando em relação a x, obtemos
du = 6x^2,dx Longrightarrow x^2,dx = 16,du
Ou seja, todo o fator x^2,dx no integrando pode ser trocado por tfrac16,du.

Passo 3

Substituindo u e x^2,dx na integral, temos
integral x^2raiz2x^3+1,dx = integral raizu,16,du = 16integral u^tfrac12,du

Passo 4

Agora aplicamos a regra de potência na integral em u:
integral u^tfrac12,du = u^tfrac32tfrac32 = 23,u^tfrac32
Multiplicando pelo fator tfrac16, obtemos
16cdot23,u^tfrac32 = 19,u^tfrac32

Passo 5

Voltando à variável original x, basta substituir u = 2x^3+1:
19,u^tfrac32 + C = 19,(2x^3+1)^tfrac32 + C

Resposta

integral x^2raiz2x^3+1,dx = (2x^3+1)^tfrac329 + C

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