Calcule a integral (Substituição):
integral raizt+1 d t

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral
integral raizt+1,dt
O conteúdo aqui é integração por substituição, pois temos uma raiz de uma expressão linear em t.

Passo 2

Fazemos a substituição
u = t + 1,
então
du = dt
Isso transforma t+1 em u e dt em du.

Passo 3

Reescrevendo a integral em termos de u:
integral raizt+1,dt = integral raizu,du = integral u^tfrac12,du
Agora aplicamos a regra da potência para integrais.

Passo 4

Usando
integral u^n,du = u^n+1n+1 + C,
com n = tfrac12, obtemos
integral u^tfrac12,du = u^tfrac32tfrac32 + C = 23,u^tfrac32 + C
Voltando à variável original t:
23(t+1)^tfrac32 + C

Passo 5

Podemos conferir derivando
ddt!l[tfrac23(t+1)^tfrac32r] = tfrac23cdot tfrac32(t+1)^tfrac12cdot1 = raizt+1,
que era nosso integrando.

Resposta

23(t+1)^tfrac32 + C

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