Calcule a integral (Substituição):
integral 2+x1+x^2 d x

Passo 1

O enunciado pede a integral indefinida
integral 2+x1+x^2,dx
O conteúdo principal é integrar por decomposição da fração e usar substituição em um dos termos.

Passo 2

Decomponho o integrando em duas parcelas que conheço:
2+x1+x^2 = 21+x^2 + x1+x^2
Portanto
integral 2+x1+x^2,dx = integral 21+x^2,dx ;+; integral x1+x^2,dx

Passo 3

Para integral 21+x^2,dx, retiro o 2 e uso
integral dx1+x^2 = arctan(x),
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integral 21+x^2,dx = 2,arctan(x)

Passo 4

Para integral x1+x^2,dx, faço a substituição
u = 1 + x^2, du = 2x,dx ;Longrightarrow; x,dx = du2
Assim
integral x1+x^2,dx = integral 1u,du2 = 12lnlvert urvert + C = 12lnl(1+x^2r)

Passo 5

Somando os dois resultados, a integral fica
integral 2+x1+x^2,dx = 2,arctan(x) ;+; 12lnl(1+x^2r) + C

Resposta

2,arctan(x) + 12lnl(1+x^2r) + C

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