Calcule a integral de superfície do campo F sobre a superfície dada:
F(x, y, z)=\left(2 x,-2 y, z^{2}\right) e S é o cilindro x^{2}+y^{2}=4, z \in[0,1]

Passo 1

O enunciado pede para calcular o fluxo do campo vetorial
F(x,y,z) = \bigl(2x,\,-2y,\,z^2\bigr)
através da superfície S que é o cilindro lateral definido por x^2+y^2=4, 0\le z\le1.
O conteúdo aqui é integral de superfície de um campo sobre uma superfície parametrizada, usando a fórmula
\iint_{S}F\cdot n\,dS,
onde n é a normal unitária à superfície.

Passo 2

Parametrizamos o cilindro lateral por
\mathbf r(\theta,z)=\bigl(2\cos\theta,\;2\sin\theta,\;z\bigr), \quad 0\le\theta\le2\pi,\quad 0\le z\le1.
Para esse cilindro a normal unitária voltada para fora é
n(\theta,z)=\bigl(\cos\theta,\;\sin\theta,\;0\bigr),
e o elemento de área vale
dS = \bigl\|\partial_\theta\mathbf r\times\partial_z\mathbf r\bigr\|\,d\theta\,dz =2\,d\theta\,dz.

Passo 3

Em \mathbf r(\theta,z) temos
F\bigl(\mathbf r(\theta,z)\bigr) =\bigl(2\cdot2\cos\theta,\;-2\cdot2\sin\theta,\;z^2\bigr) =\bigl(4\cos\theta,\;-4\sin\theta,\;z^2\bigr).
O produto escalar com a normal é
F\cdot n =4\cos\theta\cdot\cos\theta \;+\;(-4\sin\theta)\cdot\sin\theta \;+\;z^2\cdot0 =4\bigl(\cos^2\theta-\sin^2\theta\bigr) =4\cos(2\theta).

Passo 4

Portanto o fluxo é
\iint_{S}F\cdot n\,dS =\int_{z=0}^{1}\!\!\int_{\theta=0}^{2\pi} \bigl(4\cos(2\theta)\bigr)\,(2\,d\theta\,dz) =8\int_{0}^{1}\!\!\int_{0}^{2\pi}\cos(2\theta)\,d\theta\,dz.
Mas
\int_{0}^{2\pi}\cos(2\theta)\,d\theta = 0,
logo toda a integral se anula.

Resposta

O fluxo de F pela superfície cilíndrica S é 0.

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