Calcule a integral de superfície \iint_{S} F . d \vec{A}, em que F(x, y, z)=\left(x, y, z^{2}\right) e S é a superfície parametrizada \varphi(u, v)= (2 \operatorname{sen} u, 3 \cos u, v) \operatorname{com} u \in[0,2 \pi] e v \in[0,1].

Passo 1

O enunciado pede o fluxo de \mathbf F(x,y,z)=(x,y,z^2) através da superfície S dada pela parametrização
\varphi(u,v)=(2\sin u,\;3\cos u,\;v),
com u\in[0,2\pi] e v\in[0,1].
O conteúdo é integral de superfície de campo vetorial (fluxo), que fazemos por
\iint_{S}\mathbf F\cdot d\vec A =\iint_{D}\mathbf F\bigl(\varphi(u,v)\bigr)\cdot\bigl(\phi_u\times\phi_v\bigr)\,du\,dv.

Passo 2

Calculamos as derivadas parciais de \varphi:
\phi_u=(2\cos u,\;-3\sin u,\;0), \quad \phi_v=(0,\;0,\;1).

Passo 3

Fazemos o produto vetorial
\phi_u\times\phi_v = \begin{vmatrix} \mathbf i & \mathbf j & \mathbf k\\\\ 2\cos u & -3\sin u & 0\\\\ 0 & 0 & 1 \end{vmatrix} =(-3\sin u,\;-2\cos u,\;0).

Passo 4

Avaliamo \mathbf F na parametrização e o produto escalar:
\mathbf F(\varphi(u,v)) =(2\sin u,\;3\cos u,\;v^2),
\mathbf F(\varphi(u,v))\cdot(\phi_u\times\phi_v) =2\sin u\cdot(-3\sin u)+3\cos u\cdot(-2\cos u)+v^2\cdot0 =-6(\sin^2u+\cos^2u)=-6.

Passo 5

Integramos sobre o domínio u\in[0,2\pi], v\in[0,1]:
\iint_{S}\mathbf F\cdot d\vec A =\int_{u=0}^{2\pi}\int_{v=0}^{1}(-6)\,dv\,du =-6\cdot1\cdot2\pi =-12\pi.

Resposta

-12\pi

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