Calcule a integral de superfície:
\iint_{S} 1-z d A, onde S é gráfico de z=1-x^{2}-y^{2} com x^{2}+y^{2} \leq 1

Passo 1

O enunciado pede a integral de superfície
\iint_{S}(1 - z)\,dA,
onde S é o gráfico de z = 1 - x^{2}-y^{2} sobre o disco D\colon x^{2}+y^{2}\le1.
O conteúdo é integral de superfície de primeira espécie (função escalar sobre superfície), e vamos precisar da fórmula para superfície parametrizada como gráfico de z=g(x,y).

Passo 2

Para uma superfície dada por z=g(x,y) sobre um domínio D no plano xy, vale
\iint_{S}f(x,y,z)\,dA =\iint_{D}f\bigl(x,y,g(x,y)\bigr)\,\sqrt{1+g_x^2+g_y^2}\;dA_{xy}.

Passo 3

Aqui g(x,y)=1 - x^{2}-y^{2}. Calculamos
g_x=-2x,\quad g_y=-2y,
e a função integranda em D é
1 - z = 1 - \bigl(1 - x^{2}-y^{2}\bigr) = x^{2}+y^{2}.
Assim
\sqrt{1+g_x^2+g_y^2} =\sqrt{1+4x^{2}+4y^{2}} =\sqrt{\,1+4(x^{2}+y^{2})\,},
e a integral torna-se
\iint_{D}(x^{2}+y^{2})\,\sqrt{1+4(x^{2}+y^{2})}\;dA_{xy}.

Passo 4

Passemos a coordenadas polares: x=r\cos\theta, y=r\sin\theta, com 0\le r\le1, 0\le\theta<2\pi. Então x^{2}+y^{2}=r^{2} e dA_{xy}=r\,dr\,d\theta. A integral fica
\int_{0}^{2\pi}\!\!\int_{0}^{1}r^{2}\,\sqrt{1+4r^{2}}\;\bigl(r\,dr\,d\theta\bigr) =2\pi\int_{0}^{1}r^{3}\sqrt{1+4r^{2}}\;dr.

Passo 5

Calculemos a integral radial
I=\int_{0}^{1}r^{3}\sqrt{1+4r^{2}}\;dr.
Use u=1+4r^{2}\implies du=8r\,dr, daí r^{2}=(u-1)/4 e r\,dr=du/8. Assim
r^{3}dr = r^{2}\,(r\,dr) =\frac{u-1}{4}\,\frac{du}{8} =\frac{u-1}{32}\,du,
e
I=\int_{u=1}^{u=5}\frac{u-1}{32}\,u^{1/2}\,du =\frac{1}{32}\int_{1}^{5}(u^{3/2}-u^{1/2})\,du.
Integrando,
\int(u^{3/2}-u^{1/2})\,du =\frac{2}{5}u^{5/2}-\frac{2}{3}u^{3/2},
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I=\frac{1}{32}\Bigl[\tfrac{2}{5}u^{5/2}-\tfrac{2}{3}u^{3/2}\Bigr]_{1}^{5} =\frac{1}{16}\Bigl[\frac{u^{5/2}}{5}-\frac{u^{3/2}}{3}\Bigr]_{1}^{5}.

Passo 6

Avalie de u=1 a u=5:
I=\frac{1}{16}\Bigl(\frac{5^{5/2}}{5}-\frac{5^{3/2}}{3}-\frac{1}{5}+\frac{1}{3}\Bigr) =\frac{1}{16}\Bigl(\frac{2}{3}5^{3/2}+\frac{2}{15}\Bigr) =\frac{1}{8}\Bigl(\frac{5^{3/2}}{3}+\frac{1}{15}\Bigr).
Multiplicando por 2\pi,
\iint_{S}(1 - z)\,dA =2\pi\,I =\frac{\pi}{4}\Bigl(\frac{5^{3/2}}{3}+\frac{1}{15}\Bigr) =\frac{\pi\,(25\sqrt{5}+1)}{60}.

Resposta

\displaystyle \frac{\pi\,(25\sqrt{5}+1)}{60}

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