Calcule a integral de superfície
dS onde
e
é um cubo no primeiro octante limitado pelos planos
e
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para calcular a integral de superfície
, onde a força
é dada por
e
é um cubo no primeiro octante limitado pelos planos
,
e
. Para resolver isso, vamos usar o Teorema da Divergência, que nos ajuda a transformar uma integral de superfície em uma integral de volume, facilitando muito a vida. Vamos precisar calcular a divergência de
e depois integrar isso no volume do cubo.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é o Teorema da Divergência. Ele diz que a integral de superfície de um campo vetorial
sobre uma superfície fechada
é igual à integral de volume da divergência de
sobre o volume
limitado por
. Matematicamente, isso é escrito como:
Isso significa que, ao invés de calcular a integral na superfície, que pode ser complicada, vamos calcular a divergência e depois integrar isso no volume.
Passo 3
Agora, vamos calcular a divergência de
. A divergência de um campo vetorial
é dada por:
No nosso caso,
,
e
. Vamos calcular cada derivada parcial:
Então, somando tudo:
Passo 4
Agora que temos a divergência, vamos configurar a integral de volume. O cubo está no primeiro octante, limitado por
a
,
a
e
a
. Então, a integral de volume fica:
Vamos resolver essa integral passo a passo, integrando primeiro em
, depois em
e por último em
.
Passo 5
Vamos começar integrando em relação a
:
Agora, vamos integrar em relação a
:
Por último, integramos em relação a
:
Agora, não esquece que tínhamos um fator de 6 lá no começo:
Resposta
A integral de superfície é igual a 27.