Calcule a integral de superfície integral duplaS F cdot N dS onde
F(x, y, z)=x^2 y z i+x y^2 z j+x y z^2 k
e S é um cubo no primeiro octante limitado pelos planos x=1, y=2 e z=3.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para calcular a integral de superfície integral duplaS F cdot N , dS , onde a força F é dada por F(x, y, z) = x^2 y z i + x y^2 z j + x y z^2 k e S é um cubo no primeiro octante limitado pelos planos x=1 , y=2 e z=3 . Para resolver isso, vamos usar o Teorema da Divergência, que nos ajuda a transformar uma integral de superfície em uma integral de volume, facilitando muito a vida. Vamos precisar calcular a divergência de F e depois integrar isso no volume do cubo.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é o Teorema da Divergência. Ele diz que a integral de superfície de um campo vetorial F sobre uma superfície fechada S é igual à integral de volume da divergência de F sobre o volume V limitado por S . Matematicamente, isso é escrito como:
integral duplaS F cdot N , dS = integral triplaV (nabla cdot F) , dV
Isso significa que, ao invés de calcular a integral na superfície, que pode ser complicada, vamos calcular a divergência e depois integrar isso no volume.

Passo 3

Agora, vamos calcular a divergência de F . A divergência de um campo vetorial F = P i + Q j + R k é dada por:
nabla cdot F = partial Ppartial x + partial Qpartial y + partial Rpartial z
No nosso caso, P = x^2 y z , Q = x y^2 z e R = x y z^2 . Vamos calcular cada derivada parcial:
partial Ppartial x = partialpartial x (x^2 y z) = 2x y z
partial Qpartial y = partialpartial y (x y^2 z) = 2x y z
partial Rpartial z = partialpartial z (x y z^2) = 2x y z
Então, somando tudo:
nabla cdot F = 2x y z + 2x y z + 2x y z = 6x y z

Passo 4

Agora que temos a divergência, vamos configurar a integral de volume. O cubo está no primeiro octante, limitado por x=0 a x=1 , y=0 a y=2 e z=0 a z=3 . Então, a integral de volume fica:
integral triplaV 6x y z , dV = 6 integral0^1 integral0^2 integral0^3 x y z , dz , dy , dx
Vamos resolver essa integral passo a passo, integrando primeiro em z , depois em y e por último em x .

Passo 5

Vamos começar integrando em relação a z :
integral0^3 x y z , dz = x y [ z^22 ]0^3 = x y ( 92 - 0 ) = 92 x y
Agora, vamos integrar em relação a y :
integral0^2 92 x y , dy = 92 x [ y^22 ]0^2 = 92 x ( 42 - 0 ) = 92 x times 2 = 9x
Por último, integramos em relação a x :
integral0^1 9x , dx = 9 [ x^22 ]0^1 = 9 ( 12 - 0 ) = 92
Agora, não esquece que tínhamos um fator de 6 lá no começo:
6 times 92 = 27

Resposta

A integral de superfície é igual a 27.

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