Seja S o hemisfério acima do plano x y da esfera x^2+y^2+z^2=4. Suponha que a densidade é dada por sigma(x, y, z)=raizx^2+y^2+z^2 . Calcule a massa da superfície S.

Passo 1

Vamos resolver o exercício que pede para calcular a massa da superfície S, que é o hemisfério acima do plano xy da esfera x^2 + y^2 + z^2 = 4. A densidade da superfície é dada por sigma(x, y, z) = raizx^2 + y^2 + z^2. Para resolver, vamos precisar usar conceitos de cálculo de superfícies e integrais de superfície.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a fórmula para calcular a massa de uma superfície. A massa M é dada pela integral da densidade sobre toda a superfície S:
M = integral duplaS sigma(x, y, z) , dS

Passo 3

Conhecendo que a densidade é sigma(x, y, z) = raizx^2 + y^2 + z^2, e observando a equação da esfera x^2 + y^2 + z^2 = 4, percebemos que raizx^2 + y^2 + z^2 = raiz4 = 2. Portanto, a densidade sigma é constante e igual a 2 em toda a superfície S.

Passo 4

Com a densidade constante, a massa pode ser simplificada para:
M = sigma cdot Área de S Á
Substituindo sigma = 2:
M = 2 cdot Área de S Á

Passo 5

Agora, precisamos calcular a área do hemisfério S. A área de uma esfera completa de raio r é 4pi r^2. Como temos um hemisfério (metade da esfera), a área é:
Área de S = 2pi r^2 Á
Dado que a esfera tem equação x^2 + y^2 + z^2 = 4, o raio r é 2. Então:
Área de S = 2pi (2)^2 = 2pi cdot 4 = 8pi Á

Passo 6

Finalmente, substituímos a área na fórmula da massa:
M = 2 cdot 8pi = 16pi

Resposta

A massa da superfície S é 16pi.

Exercícios relacionados