Seja
o hemisfério acima do plano
da esfera
. Suponha que a densidade é dada por
. Calcule a massa da superfície
.
Passo 1
Vamos resolver o exercício que pede para calcular a massa da superfície
, que é o hemisfério acima do plano
da esfera
. A densidade da superfície é dada por
. Para resolver, vamos precisar usar conceitos de cálculo de superfícies e integrais de superfície.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a fórmula para calcular a massa de uma superfície. A massa
é dada pela integral da densidade sobre toda a superfície
:
Passo 3
Conhecendo que a densidade é
, e observando a equação da esfera
, percebemos que
. Portanto, a densidade
é constante e igual a 2 em toda a superfície
.
Passo 4
Com a densidade constante, a massa pode ser simplificada para:
Substituindo
:
Passo 5
Agora, precisamos calcular a área do hemisfério
. A área de uma esfera completa de raio
é
. Como temos um hemisfério (metade da esfera), a área é:
Dado que a esfera tem equação
, o raio
é 2. Então:
Passo 6
Finalmente, substituímos a área na fórmula da massa:
Resposta
A massa da superfície
é
.