Determine o domínio, a imagem e esboce o gráfico das funções a seguir definidas por
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa determinar o domínio, a imagem e esboçar o gráfico da função definida por
. Vamos usar conceitos de funções exponenciais, entender o que significam domínio e imagem, e como desenhar o gráfico dessa função.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é o domínio da função. O domínio é o conjunto de todos os valores de
para os quais a função está definida. Como estamos lidando com uma função exponencial, que é definida para todos os números reais, o domínio será todos os números reais.
Matematicamente, temos:
Passo 3
Agora, vamos encontrar a imagem da função, que é o conjunto de todos os valores possíveis de
. A função exponencial
sempre é positiva, ou seja,
. Ao adicionar 3, todos os valores da função serão maiores que 3.
Portanto, a imagem é:
Passo 4
Vamos esboçar o gráfico da função
. Primeiro, vamos identificar componentes importantes da função exponencial:
- A base
indica que é uma função exponencial crescente. - O coeficiente 6 em
significa que a função cresce mais rapidamente. - O termo
dentro do expoente desloca o gráfico para a direita. - O número 3 fora do exponente desloca todo o gráfico para cima.
Para desenhar o gráfico:
- A assíntota horizontal está em
, já que nunca será negativo. - O gráfico passará próximo a essa assíntota quando
tende a menos infinito. - Conforme
aumenta, cresce rapidamente devido ao termo .
Resposta
O domínio da função é
, a imagem é
, e o gráfico é uma curva exponencial crescente com assíntota horizontal em
, deslocada para a direita e para cima conforme os coeficientes na função.