Determine o domínio, a imagem e esboce o gráfico das funções a seguir definidas por
& f: A subset R B subset R & x mapsto f(x)=y
f(x)=e^6 x-5+3

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa determinar o domínio, a imagem e esboçar o gráfico da função definida por f(x) = e^6x - 5 + 3 . Vamos usar conceitos de funções exponenciais, entender o que significam domínio e imagem, e como desenhar o gráfico dessa função.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é o domínio da função. O domínio é o conjunto de todos os valores de x para os quais a função está definida. Como estamos lidando com uma função exponencial, que é definida para todos os números reais, o domínio será todos os números reais.
Matematicamente, temos:
A = R

Passo 3

Agora, vamos encontrar a imagem da função, que é o conjunto de todos os valores possíveis de y = f(x) . A função exponencial e^6x - 5 sempre é positiva, ou seja, e^6x - 5 > 0 . Ao adicionar 3, todos os valores da função serão maiores que 3.
Portanto, a imagem é:
B = y in R | y > 3

Passo 4

Vamos esboçar o gráfico da função f(x) = e^6x - 5 + 3 . Primeiro, vamos identificar componentes importantes da função exponencial:
  1. A base e indica que é uma função exponencial crescente.
  2. O coeficiente 6 em 6x significa que a função cresce mais rapidamente.
  3. O termo -5 dentro do expoente desloca o gráfico para a direita.
  4. O número 3 fora do exponente desloca todo o gráfico para cima.
Para desenhar o gráfico:
  • A assíntota horizontal está em y = 3 , já que e^6x - 5 nunca será negativo.
  • O gráfico passará próximo a essa assíntota quando x tende a menos infinito.
  • Conforme x aumenta, y cresce rapidamente devido ao termo 6x .

Resposta

O domínio da função é R , a imagem é y in R | y > 3 , e o gráfico é uma curva exponencial crescente com assíntota horizontal em y = 3 , deslocada para a direita e para cima conforme os coeficientes na função.

Exercícios relacionados