Expresse pelo termo geral cada sequência dada abaixo. Depois classifique as sequências quanto à limitação e monotonia.
2,1, 32, 1, 43, 1, cdots

Passo 1

O enunciado nos dá a sequência
2,1,tfrac32,1,tfrac43,1,ldots.
Queremos encontrar uma fórmula para o termo geral an e, em seguida, classificar a sequência quanto à limitação (se é limitada) e à monotonia (se é crescente, decrescente ou nenhuma das anteriores).

Passo 2

Observando os termos, vemos que nos índices pares a sequência é sempre igual a
Se chamarmos (índice par), temos
Se chamarmos (índice ímpar), vemos que
Logo, o termo geral pode ser escrito de modo piecewise como
é par},\[6pt] \dfrac{k+1}{k},\quad k=\tfrac{n+1}{2},& se é ímpar. \end{cases}]
]

Passo 3

Analisando os valores:
  • Para n=2k-1, a2k-1=(k+1)/k. Essa subsequência é estritamente decrescente porque
k+2k+1 < k+1k para todo k>=1,
e converge para 1 quando ktoinfty.
  • Para n=2k, a2k=1. Essa subsequência é constante.

Passo 4

Classificação quanto à limitação:
  • Notamos que para todo n temos
1 <= an <= 2,
pois k+1k varia de 2 (em k=1) até valores que se aproximam de 1. Logo, a sequência é limitada inferiormente por 1 e superiormente por 2.

Passo 5

Classificação quanto à monotonia:
  • A sequência completa não é monotônica, pois oscila entre termos ímpares decrescentes e termos pares constantes em 1.
  • Entretanto, a subsequência dos termos ímpares é estritamente decrescente e a dos termos pares é constante.

Resposta

Termo geral:
an = 1, & se (n) é par, dfrack+1kl(n=2k-1r), & se (n) é ímpar ééí
Limitação: A sequência é limitada, com 1<= an<=2.
Monotonia: A sequência não é monotônica (não é nem toda crescente nem toda decrescente).
Subsequências:
  • a2k-1 é estritamente decrescente.
  • a2k é constante.

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