Expresse pelo termo geral cada sequência dada abaixo. Depois classifique as sequências quanto à limitação e monotonia.
Passo 1
O enunciado nos dá a sequência
.
Queremos encontrar uma fórmula para o termo geral e, em seguida, classificar a sequência quanto à limitação (se é limitada) e à monotonia (se é crescente, decrescente ou nenhuma das anteriores).
Queremos encontrar uma fórmula para o termo geral
Passo 2
Observando os termos, vemos que nos índices pares a sequência é sempre igual a
Se chamarmos
(índice par), temos
Se chamarmos
(índice ímpar), vemos que
Logo, o termo geral pode ser escrito de modo piecewise como
é par},\[6pt] \dfrac{k+1}{k},\quad k=\tfrac{n+1}{2},& se
é ímpar. \end{cases}]
]
Passo 3
Analisando os valores:
- Para
, . Essa subsequência é estritamente decrescente porque
e converge para
quando
.
- Para
, . Essa subsequência é constante.
Passo 4
Classificação quanto à limitação:
- Notamos que para todo
temos
pois
varia de
(em
) até valores que se aproximam de
. Logo, a sequência é limitada inferiormente por
e superiormente por
.
Passo 5
Classificação quanto à monotonia:
- A sequência completa não é monotônica, pois oscila entre termos ímpares decrescentes e termos pares constantes em
. - Entretanto, a subsequência dos termos ímpares é estritamente decrescente e a dos termos pares é constante.
Resposta
Termo geral:
Limitação: A sequência é limitada, com
.
Monotonia: A sequência não é monotônica (não é nem toda crescente nem toda decrescente).
Subsequências:
Monotonia: A sequência não é monotônica (não é nem toda crescente nem toda decrescente).
Subsequências:
-
é estritamente decrescente. -
é constante.