e é a fronteira da região delimitada lateralmente pelo cilindro , abaixo pelo plano e acima pelo plano .
Passo 1
Beleza, vamos lá! Você quer calcular a integral de superfície , onde o campo vetorial é e é a fronteira de uma região delimitada pelo cilindro , pelo plano (abaixo) e pelo plano (acima). Para resolver isso, vamos usar o Teorema da Divergência, que relaciona a integral de superfície com uma integral de volume, facilitando nossos cálculos.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar do Teorema da Divergência. Ele diz que:
Ou seja, a integral de superfície do fluxo de através de é igual à integral tripla do divergente de sobre o volume limitado por .
Passo 3
Vamos calcular o divergente de . O divergente é dado por:
Passo 4
Agora, precisamos integrar esse divergente sobre o volume . Nosso volume é um cilindro com raio 3 (já que ) e altura de 0 a 4 (de a ).
Como a região tem simetria circular, é mais fácil usar coordenadas cilíndricas , onde:
E o elemento de volume em coordenadas cilíndricas é .
Passo 5
Substituindo e os limites de integração, temos:
Observando que, por simetria, as integrais de e sobre o cilindro vão dar zero (pois para cada ponto positivo tem um negativo que cancela), restará apenas:
Passo 6
Vamos calcular:
Primeiro, integramos em :
Depois, em theta :
integral0^2pi dtheta = 2pi
Então, temos:
2 times 92 times 2pi times integral0^4 z , dz = 2 times 92 times 2pi times ( 12 z^2 g|0^4 ) = 2 times 92 times 2pi times ( 162 ) = 2 times 92 times 2pi times 8
Passo 7
Simplificando:
2 times 92 times 2pi times 8 = 2 times 9 times 8 times pi = 144pi
Resposta
A integral de superfície integral duplaS F cdot N , dS é igual a 144pi .