Calcule a integral de superfície integral duplaS F cdot N d S onde
F(x, y, z)=x^2 i+y^2 j+z^2 k
e S é a fronteira da região delimitada lateralmente pelo cilindro x^2+y^2=9, abaixo pelo plano x y e acima pelo plano z=4.

Passo 1

Beleza, vamos lá! Você quer calcular a integral de superfície integral duplaS F cdot N , dS , onde o campo vetorial é F(x, y, z) = x^2 i + y^2 j + z^2 k e S é a fronteira de uma região delimitada pelo cilindro x^2 + y^2 = 9 , pelo plano xy (abaixo) e pelo plano z = 4 (acima). Para resolver isso, vamos usar o Teorema da Divergência, que relaciona a integral de superfície com uma integral de volume, facilitando nossos cálculos.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar do Teorema da Divergência. Ele diz que:
integral duplaS F cdot N , dS = integral triplaV nabla cdot F , dV
Ou seja, a integral de superfície do fluxo de F através de S é igual à integral tripla do divergente de F sobre o volume V limitado por S .

Passo 3

Vamos calcular o divergente de F . O divergente nabla cdot F é dado por:
nabla cdot F = partialpartial x(x^2) + partialpartial y(y^2) + partialpartial z(z^2) = 2x + 2y + 2z

Passo 4

Agora, precisamos integrar esse divergente sobre o volume V . Nosso volume é um cilindro com raio 3 (já que x^2 + y^2 = 9 ) e altura de 0 a 4 (de z = 0 a z = 4 ).
Como a região tem simetria circular, é mais fácil usar coordenadas cilíndricas (r, theta, z) , onde:
x = r cos(theta), y = r sin(theta), z = z
E o elemento de volume em coordenadas cilíndricas é dV = r , dr , dtheta , dz .

Passo 5

Substituindo nabla cdot F e os limites de integração, temos:
integral triplaV (2x + 2y + 2z) , dV = 2 integral triplaV x , dV + 2 integral triplaV y , dV + 2 integral triplaV z , dV
Observando que, por simetria, as integrais de x e y sobre o cilindro vão dar zero (pois para cada ponto positivo tem um negativo que cancela), restará apenas:
2 integral triplaV z , dV

Passo 6

Vamos calcular:
2 integral triplaV z , dV = 2 integral0^4 integral0^2pi integral0^3 z cdot r , dr , dtheta , dz
Primeiro, integramos em r :
integral0^3 r , dr = 12 r^2 g|0^3 = 12 times 9 = 92
Depois, em theta :
integral0^2pi dtheta = 2pi
Então, temos:
2 times 92 times 2pi times integral0^4 z , dz = 2 times 92 times 2pi times ( 12 z^2 g|0^4 ) = 2 times 92 times 2pi times ( 162 ) = 2 times 92 times 2pi times 8

Passo 7

Simplificando:
2 times 92 times 2pi times 8 = 2 times 9 times 8 times pi = 144pi

Resposta

A integral de superfície integral duplaS F cdot N , dS é igual a 144pi .

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