Mostre que 2^{67}+3^{34} é múltiplo de 17 .

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que 2^{67}+3^{34} é múltiplo de 17, ou seja, que
2^{67}+3^{34}\equiv 0 \pmod{17}.
O conteúdo aqui é aritmética modular e vamos usar o Pequeno Teorema de Fermat, que afirma: se p é primo e p não divide a, então
a^{p-1}\equiv 1 \pmod p.

Passo 2

Reescrevemos a condição “múltiplo de 17” como a congruência
2^{67}+3^{34}\equiv 0 \pmod{17}.
Isso significa calcular separadamente 2^{67}\bmod 17 e 3^{34}\bmod 17 e somar os resultados.

Passo 3

Como 17 é primo e \gcd(2,17)=1, pelo Pequeno Teorema de Fermat temos
2^{16}\equiv 1 \pmod{17}.
Assim podemos reduzir o expoente de 2 módulo 16.

Passo 4

Note que 67 = 16\cdot4 + 3. Então
2^{67} = (2^{16})^4 \cdot 2^3 \equiv 1^4 \cdot 8 = 8 \pmod{17}.
Logo,
2^{67}\equiv 8 \pmod{17}.

Passo 5

Do mesmo modo, \gcd(3,17)=1 e
3^{16}\equiv 1 \pmod{17}.
Como 34 = 16\cdot2 + 2, segue
3^{34} = (3^{16})^2 \cdot 3^2 \equiv 1^2 \cdot 9 = 9 \pmod{17},
portanto
3^{34}\equiv 9 \pmod{17}.

Passo 6

Somando as duas congruências:
2^{67}+3^{34}\equiv 8 + 9 = 17 \equiv 0 \pmod{17}.
Isso mostra que 17 divide 2^{67}+3^{34}.

Resposta

Portanto, 2^{67}+3^{34} é múltiplo de 17.

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