Seja p>2 um número primo, mostre que a^{\frac{p-1}{2}} \equiv 1(\bmod p) ou a^{\frac{p-1}{2}} \equiv-1(\bmod p).

Passo 1

O enunciado diz: seja p>2 primo e seja a um inteiro tal que p\nmid a. Precisamos mostrar que
a^{\frac{p-1}{2}}\equiv 1\pmod p \quad\text{ou}\quad a^{\frac{p-1}{2}}\equiv -1\pmod p.
O conteúdo principal é o Pequeno Teorema de Fermat e o fato de que \mathbb{F}_p^\times é um corpo finito de ordem p-1.

Passo 2

Pelo Pequeno Teorema de Fermat, para todo inteiro a com p\nmid a vale
a^{p-1}\equiv 1\pmod p.
Logo, se definirmos
x \;=\; a^{\frac{p-1}{2}},
temos
x^2 \;=\; \Bigl(a^{\frac{p-1}{2}}\Bigr)^2 \;=\; a^{p-1} \;\equiv\; 1 \pmod p.

Passo 3

Do congruente
x^2\equiv 1\pmod p
segue
x^2 - 1\equiv 0\pmod p \quad\Longrightarrow\quad (x-1)(x+1)\equiv 0\pmod p.
Como \mathbb{F}_p é um corpo (não há divisores de zero), isso implica
x\equiv 1\pmod p \quad\text{ou}\quad x\equiv -1\pmod p.

Resposta

Portanto
a^{\frac{p-1}{2}}\equiv 1\pmod p \quad\text{ou}\quad a^{\frac{p-1}{2}}\equiv -1\pmod p.

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