Calcule a integral de superfície:
, onde
é superfície do cubo
.
Passo 1
O enunciado pede a superfície do cubo unitário
e a integral de superfície do escalar
, ou seja
O conteúdo envolvido é integrar uma função escalar em cada face do cubo, somando as contribuições das seis faces.
Passo 2
Vamos dividir
em seis faces planas:
- duas faces
e , - duas faces
e , - duas faces
e .
Em cada face parametrizamos por duas variáveis que variam dea e usamos como elemento de área.
Passo 3
Faces
e
: aqui o parâmetro é
,
e a função é
. Cada face dá
Como são duas faces idênticas, a contribuição total é
Passo 4
Faces
e
: aqui o parâmetro é
,
e a função continua
. Cada face dá
Duas faces análogas fornecem
Passo 5
Faces
e
: aqui o parâmetro é
,
.
- Para
temos , logo a integral é . - Para
temos , então
Passo 6
Somando as contribuições das três duplas de faces: