Calcule a integral de superfície:
\iint_{S} z^{2} d A, onde S é superfície do cubo S=[0,1] \times[0,1] \times[0,1].

Passo 1

O enunciado pede a superfície do cubo unitário
S = [0,1]\times[0,1]\times[0,1]
e a integral de superfície do escalar z^2, ou seja
\iint_{S} z^{2}\,dA.
O conteúdo envolvido é integrar uma função escalar em cada face do cubo, somando as contribuições das seis faces.

Passo 2

Vamos dividir S em seis faces planas:
  1. duas faces x=0 e x=1,
  2. duas faces y=0 e y=1,
  3. duas faces z=0 e z=1.
    Em cada face parametrizamos por duas variáveis que variam de 0 a 1 e usamos dA como elemento de área.

Passo 3

Faces x=0 e x=1: aqui o parâmetro é (y,z)\in[0,1]^2, dA=dy\,dz e a função é z^2. Cada face dá
\int_{0}^{1}\int_{0}^{1} z^2\,dy\,dz =\int_{0}^{1}z^2\Bigl(\int_{0}^{1}dy\Bigr)dz =\int_{0}^{1}z^2\,dz =\frac{1}{3}.
Como são duas faces idênticas, a contribuição total é
2\cdot\frac{1}{3} = \frac{2}{3}.

Passo 4

Faces y=0 e y=1: aqui o parâmetro é (x,z)\in[0,1]^2, dA=dx\,dz e a função continua z^2. Cada face dá
\int_{0}^{1}\int_{0}^{1} z^2\,dx\,dz =\int_{0}^{1}z^2\Bigl(\int_{0}^{1}dx\Bigr)dz =\int_{0}^{1}z^2\,dz =\frac{1}{3}.
Duas faces análogas fornecem
2\cdot\frac{1}{3} = \frac{2}{3}.

Passo 5

Faces z=0 e z=1: aqui o parâmetro é (x,y)\in[0,1]^2, dA=dx\,dy.
  • Para z=0 temos z^2=0, logo a integral é 0.
  • Para z=1 temos z^2=1, então
\int_{0}^{1}\int_{0}^{1}1\,dx\,dy =\Bigl(\int_{0}^{1}dx\Bigr)\Bigl(\int_{0}^{1}dy\Bigr) =1\cdot1=1.

Passo 6

Somando as contribuições das três duplas de faces:
\frac{2}{3} + \frac{2}{3} + 1 = \frac{4}{3} + 1 = \frac{7}{3}.

Resposta

\displaystyle \frac{7}{3}

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